Фейнман о экстремуме функции

[misha.physics]

Здравствуйте. Хотел бы разъяснить для себя маленький вопрос и понять, правильно ли я понял, что имел ввиду Фейнман в 3-м томе ФЛФ, объясняя принцип найменьшего времени.

Есть такая фраза: "Это означает, что для точек $X$ вблизи $C$ в первом приближении время прохождения практически одинаковое". Под первым приближением автор имеет ввиду, что в точке $X$ функцию на "небольшом" участке можна заменить прямой паралельной оси абсцис? И вообще, когда говорят о приближениях какого-то порядка, то имеют ввиду именно аппроксимацию функции полиномом этой степени? Стоп, но в даном случае получается полином на единицу меньше. Или там должно было быть не первое приближение, а нулевое?

Вопрос у меня наверное идиотский, вы можете сказать, что я спрашиваю то, что и так понимаю. Но меня это чем-то заинтересовало. Это просто для себя хочется лучше понять

[EUgeneUS]

misha.physics

misha.physics в сообщении #1306689 писал(а):

Под первым приближением автор имеет ввиду, что в точке $X$ функцию на "небольшом" участке можна заменить прямой паралельной оси абсцис?

ИМХО, в точке $C$.

0. В первом приближении - это уже часто форма речи.
1. Хорошо, пусть в этом случае Фейнман имеет в виду вполне конкретную штуку - члены с бОльшим порядком малости отбрасываются. Ну так в окрестности экстремума достаточно хорошей функции $O(x) = 0$, экстремум же, производная равна нулю.

misha.physics в сообщении #1306689 писал(а):

вы можете сказать, что я спрашиваю то, что и так понимаю.

скорее всего.

[misha.physics]

EUgeneUS, спасибо.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1306689 писал(а):

Стоп, но в даном случае получается полином на единицу меньше.

Речь о том, что отбрасываются члены степени $>1.$ А что первая степень равна нулю, не существенно.

[misha.physics]

Munin в сообщении #1307121 писал(а):

misha.physics в сообщении #1306689 писал(а):

Стоп, но в даном случае получается полином на единицу меньше.

Речь о том, что отбрасываются члены степени $>1.$ А что первая степень равна нулю, не существенно.

Я наверное что-то не так понял (но хочу разобраться). Я рассуждаю так. В точке минимума производная равна нулю, значит в малой окрестности этой точки она похожа на горизонтальную прямую. (Или это и значит, что она похожа на горизонтальную прямую в первом приближении? Я в этом запутался и наверное не прав.) Если мы отбросим члены степени $>$ 1, то это значит, что линейный член нам отбрасывать необязательно. Но в точке экстремума касательная не может идти под каким либо углом отличным от нулевого. Значит и линейного члены не должно быть. Значит его в этой точке никогда не будет. Значит это существенно, что член первой степени нулевой. Не могу понять, почему не лучше говорить "о нулевом приближении" вместо "первого приближения".

Может у меня проблема именно с этими терминами.

[Munin]

Нулевое приближение:

$f(x)=f^{(0)}\,\Delta x^0+o(\Delta x^0)$

Первое приближение:

$f(x)=f^{(0)}\,\Delta x^0+f^{(1)}\,\Delta x^1+o(\Delta x^1)$

Второе приближение:

$f(x)=f^{(0)}\,\Delta x^0+f^{(1)}\,\Delta x^1+\tfrac{1}{2}f^{(2)}\,\Delta x^2+o(\Delta x^2)$

И так далее.

То есть, суть не в том, что в многочлене нет $\Delta x^1,$ а в том, что остаточный член имеет вид $o(\Delta x^1).$

[misha.physics]

Munin, это похоже на разложение функции в ряд Тейлора. Первое приближение означает, что функцию можно представить линейной по $\triangle x$. А в точке экстремума как раз член $f^{(1)}\triangle x^1$ равен нулю.

Нужно будет как-то с этим разобраться, т. к. понимаю всю важность этого :)

[arseniiv]

Представление таким «урезанным рядом» — один из вариантов формулы Тейлора.

[misha.physics]

arseniiv, вы имеете ввиду, что нужно было написать, что $f^{(i)}=f^{(i)}(x_0), \Delta x^{\alpha}=(x-x_0)^{\alpha}$?
Или в чем смысл урезанности? В том, что рассматриваются только несколько первых членов явно, а остальные "загоняются под $o$-маленькое?

Хотелось бы правильно вас понять. И может вы сможете мне что-то объяснить относительно начального вопроса темы?

[arseniiv]

misha.physics в сообщении #1307305 писал(а):

Или в чем смысл урезанности? В том, что рассматриваются только несколько первых членов явно, а остальные "загоняются под $o$-маленькое?

Ага.

misha.physics в сообщении #1307305 писал(а):

И может вы сможете мне что-то объяснить относительно начального вопроса темы?

Ну, тут вроде всё уже написали, ничего умного я точно не добавлю.

[misha.physics]

arseniiv, да иногда главное не столь умное, сколько что-то своими словами

[provincialka]

Munin в сообщении #1307133 писал(а):

суть не в том, что в многочлене нет $\Delta x^1,$ а в том, что остаточный член имеет вид $o(\Delta x^1).$

Вот самые что ни есть "свои" и правильные слова! И, да, многочлен, приближающий функцию с точностью до $o((\Delta x)^n)$ -- это многочлен Тейлора (степени $n$). Хотя в точном алгебраическом смысле его степень может быть и меньше $n$. Главное, что не больше...

[misha.physics]

provincialka,
что же это получается, что если мы разложим функцию в точке экстремума в ряд Тейлора, то его остаточный член будет иметь вид $o(\Delta x^1)$? Но это значит, что функция в этой точке представится как $f(x)=f^{(0)}\,\Delta x^0+f^{(1)}\,\Delta x^1+o(\Delta x^1)$. Но в точке экстремума первая производная равна нулю. Это похоже на то, как будто у нас всегда выполняется какое-то сильно условие, а мы берем и заменяем его более слабым.
Или я о чем то другом говорю... Но что-то не получается понять

[provincialka]

Не.. ряд -- это другое понятие... его после проходят... Например, формулу Тейлора -- в 1 семестре, а ряд -- во втором или третьем. И вообще, в ряд раскладывается не всякая функция, уж по крайней мере она должна быть бесконечно дифференцируемой.
А я не могу понять вот это:

misha.physics в сообщении #1307451 писал(а):

Но в точке экстремума первая производная равна нулю.

Ну да... И чему это мешает?

-- 26.04.2018, 01:13 --

Вот, например, рассмотрим функцию $f(x)=x^3-3x+1$. В окрестности 0 ее многочлены Тейлора имеют вид
$T_0=1$
$T_1=1-3x$
$T_2=1-3x$
$T_3=1-3x+x^3$
А теперь рассмотрим эту же функцию в окрестности точки $1$, для этого положим $x=1+h, h\to0$
$f(x)=1-3(1+h)+(1+h)^3=1-3-3h+1+3h+3h^2+h^3=-1+3h^2+h^3$
Её многочлен Тейлора первого порядка получается отбрасыванием членов второй и третьей степени,
$f(x)=-1+o(h)$, то есть в точке $x=1$ имеем $T_1=-1$.

[misha.physics]

provincialka, а формула Тейлора и ряд Тейлора это одно и то же, или нет?

Цитата:

Ну да... И чему это мешает?

Просто если это так, то в точке экстремума можно было бы написать, что $f(x)=f^{(0)}\,\Delta x^0+o(\Delta x^0)$. И можно было бы сказать, что "это означает, что для точек $X$ вблизи $C$ в нулевом [а не в первом, как это говорится] приближении время прохождения практически одинаковое". Мой главный вопрос сформулирован именно в начальной теме. Но мне кажется, что чем больше я пытаюсь объяснить что я не понимаю, тем больше меня уносит в сторону.

Вот можно попробовать так. Есть то утверждение Фейнмана, которое я привел. Вот почему говорится именно о первом приближении? Почему не о нулевом? Или не о втором? У меня первое приближение асоциируется с какой-то линейностью. Но я представляю себе эту точку минимума. Смотрю на эту функции в окрестности этой точки и вижу горизонтальную прямую. И на этом участке заменяю функцию на $y=const$. Но это ведь нулевое приближение. Почему же говорится о первом. Какое отношение имеет линейная функция $y=kx+b$ к этой точке экстремума. Я как-то так рассуждаю

И вообще я в свое время не придал особого значения теме о формуле Тейлора. А потом понял, что на ней очень много всего держится. И печально, что я здесь путаюсь.

-- 26 апр 2018, 00:21 --

provincialka, простите, я отправил свое сообщение прежде чем увидел (ещё не читал) ваше дополнение. Потом прочту и подумаю.