Интегрирование дифференциального бинома.

[provincialka]

Someone
Да я что... я ничего... я так Просто показала ещё один вариант!

[Someone]

Да я же не против. На самом деле, пока не проделаешь вычисления до конца разными способами, не поймёшь, какой самый лучший. В данном случае я этого не сделал, да и Вы, я думаю, тоже. Так что осталось неизвестным, как лучше.

[charlovigor]

Тогда попробую разобраться с комплексными числами. Лишним не будет.
Да, в программе есть, просто ещё не дошли до них.

-- 26.04.2018, 04:11 --

Someone в сообщении #1307419 писал(а):

Корни многочлена $t^9-\frac 14$ — это корни девятой степени из числа $\frac 14$, которых $9$ штук: $t_k=\frac 1{\sqrt[9]{4}}\left(\cos\frac{2\pi k}9+i\sin\frac{2\pi k}9\right)$, $k\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$. Корень $t_0=\frac 1{\sqrt[9]{4}}$ действительный, остальные $8$ разбиваются на $4$ пары сопряжённых, так как $\cos\frac{2\pi(9-k)}9=\cos\frac{2\pi k}9$ и $\sin\frac{2\pi(9-k)}9=-\sin\frac{2\pi k}9$.
Поэтому при $k\in\{1,2,3,4\}$
$(t-t_k)(t-t_{9-k})=\left(t-\frac 1{\sqrt[9]{4}}\left(\cos\frac{2\pi k}9+i\sin\frac{2\pi k}9\right)\right)\left(t-\frac 1{\sqrt[9]{4}}\left(\cos\frac{2\pi k}9-i\sin\frac{2\pi k}9\right)\right)=$ $t^2-\frac{2t}{\sqrt[9]{4}}\cos\frac{2\pi k}9+\frac 1{\sqrt[9]{16}}.$
Таким образом, многочлен $t^9-\frac 14$ разлагается в произведение одного многочлена первой степени $t-t_0$ и четырёх многочленов второй степени.

Кажется, понять это сходу невозможно.

[charlovigor]

Вроде немного разобрался с самими комплексными числами, но не могу найти разложение на множители, чтобы с примерами было. А то одни свойства и доказательства нахожу. Может кто-нибудь ссылочкой на материал поделиться, если, конечно же, таковой имеется.

[Someone]

charlovigor в сообщении #1307474 писал(а):

Кажется, понять это сходу невозможно.

В интернете полно литературы по комплексным числам:
Комплексные числа для чайников,
Комплексные числа,
Обобщения чисел,
Комплексное число,
…

С разложением на множители не очень сложно. Вы ещё в школе должны были узнать, что если $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного трёхчлена $ax^2+bx+c$, то $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$. Эта формула работает, если дискриминант $D>0$; она останется верной при $D=0$, если считать, что в этом случае трёхчлен имеет два одинаковых корня, то есть, $x_2=x_1$; оказывается, при $D<0$ формула тоже будет верна, если считать, что уравнение имеет комплексные корни $x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-D}}{2a}$.
Оказывается, в множестве комплексных чисел многочлен степени $n$ всегда разлагается в произведение многочленов степени не выше первой:
$a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n=a(x-x_1)(x-x_2)\ldots(x-x_n)$.
Если заданный многочлен имеет действительные коэффициенты, то его комплексные корни можно разбить на пары сопряжённых; перемножение соответствующих множителей даёт квадратный трёхчлен с действительными коэффициентами:
$(x-(a+bi))(x-(a-bi))=x^2-2ax+(a^2+b^2)$.
Поэтому многочлен с действительными коэффициентами всегда можно разложить в произведение многочленов с действительными коэффициентами степени не выше второй.

[charlovigor]

Someone в сообщении #1307504 писал(а):

С разложением на множители не очень сложно.

Если раскладывать выражение в скобках обычным способом, то будет два корня:
$t_1=\sqrt{\frac{1}{4}}$ и $t_2=-\sqrt{\frac{1}{4}}$

Почему в случае с комплексными числами их получается аж девять, да ещё и с синусами, косинусами?

-- 26.04.2018, 12:24 --

Корни, естественно, девятой степени, просто не знаю как это оформляется.

-- 26.04.2018, 12:28 --

Понял, разложение неправильное, исходное выражение не получатся при раскрытии. Корней всё-таки девять, но откуда синусы?

[wrest]

charlovigor в сообщении #1307541 писал(а):

Корни, естественно, девятой степени, просто не знаю как это оформляется.

Вот так:$t_1=\sqrt[9]{\frac14}$, но можно наверное и попроще $t_1=2^{-\frac29}$

[provincialka]

В комплексной области у многочлена 9 степени всегда 9 корней (с учетом кратности). Корни из 1 (ну, или другого вещественного числа) лучше искать в тригонометрической форме.
Корни из единицы лежат на единичной окружности и делят ее на $n$ равных частей, в вашем случае $n=9$.
Но синусы и косинусы там получаются не табличные...

-- 26.04.2018, 10:52 --

charlovigor в сообщении #1307541 писал(а):

да ещё и с синусами, косинусами

Потому что всякое комплексное число можно представить в тригонометрической форме $x+iy=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$, где $r$ и $\varphi$ имеют такой же смысл, как координаты в полярной системе координат.

А вообще-ты вы бы спросили преподавателя, может, вам поменяют задание. Может там опечатка или он не заметил, что вычисления сложные получаются...

[wrest]

Someone в сообщении #1307431 писал(а):

Это уже вторая тема, где обсуждается учебная задача с чрезвычайно громоздким интегралом (ещё topic126466.html
).

И в обоих случаях перед интегралами подозрительно бесполезные коэффициенты.

[charlovigor]

provincialka в сообщении #1307548 писал(а):

А вообще-ты вы бы спросили преподавателя, может, вам поменяют задание. Может там опечатка или он не заметил, что вычисления сложные получаются...

Уже узнавал сегодня, задания такие у всех. Нужно решить насколько сил хватит. Если не решу, то не так критично. Но теперь уже самому интересно разобраться, хотя бы разложение на множители, так, на будущее.

[provincialka]

charlovigor в сообщении #1307559 писал(а):

хотя бы разложение на множители

Разберитесь! Только коэффициенты разложения будут не "числа", а те самые синусы и косинусы углов, кратных $\frac{2\pi}{9}$

-- 26.04.2018, 12:17 --

А можно и не приводить разложение к вещественным числам. Обозначим корни из 1 через $\varepsilon_i$ и попытаемся найти интеграл $\int\frac{du}{u^9-1}=\int\frac{du}{(u-\varepsilon_0)(u-\varepsilon_1)...(u-\varepsilon_8)}$. Разложение на простейшие дроби имеет вид
$\frac{1}{u^9-1}=\sum\limits_{i=0}^8\frac{A_i}{u-\varepsilon_i}$, коэффициенты $A_i$ находим методом закрывания, $A_i=\frac{1}{\prod\limits_{k\ne i}(\varepsilon_i-\varepsilon_k)}$. Это произведение можно получить как предел выражения $\frac{t-\varepsilon_i}{\prod\limits_{k}(t-\varepsilon_k)}=\frac{t-\varepsilon_i}{t^9-1}$ при $t\to \varepsilon_i$. По правилу Лопиталя этот предел равен $\frac{1}{9\varepsilon_i^8}=\frac{\varepsilon_i}{9\varepsilon_i^9}=\frac{\varepsilon_i}{9}$
Итак, $\int\frac{du}{u^9-1}=\sum\limits_{i=0}^{8}\int\frac{\varepsilon_i du}{9(u-\varepsilon_i)}$
В общем, тут применяется что-то вроде вычетов.. Хотя, конечно, сама возможность интегрировать функции с комплексными коэффициентами не доказана пока...

Ну, вы можете сложить простейшие дроби попрано (кроме первой, для которой $\varepsilon_0=1$) так, чтобы у сумм были только вещественные коэффициенты.

[Someone]

charlovigor в сообщении #1307541 писал(а):

Корни, естественно, девятой степени, просто не знаю как это оформляется.

$\sqrt[9]{4}$ даёт $\sqrt[9]{4}$.

-- Чт апр 26, 2018 13:46:41 --

charlovigor в сообщении #1307541 писал(а):

Корней всё-таки девять, но откуда синусы?

Вы литературу-то о комплексных числах почитайте. Про тригонометрическую форму, про формулу Муавра, про корни $n$-ой степени.