Фейнман о экстремуме функции

[Munin]

misha.physics в сообщении #1307451 писал(а):

Это похоже на то, как будто у нас всегда выполняется какое-то сильно условие

Есть такое условие: в точке экстремума первая не равная нулю производная - чётная.

То есть, экстремум может иметь вид не только квадратичный, но и 4-й степени, 6-й, и так далее. Но не может иметь вид кубический.

[provincialka]

misha.physics в сообщении #1307464 писал(а):

а формула Тейлора и ряд Тейлора это одно и то же, или нет?

Нет, не одно и то же, хотя связь между ними есть. Если не вдаваться в разговоры о степени гладкости функции, то многочлен Тейлора "получается" из ряда отбрасыванием всех членов, кроме первых нескольких. А все отброшенные члены "загоняются" в о-малое.

Только на самом деле, конечно, наоборот: сначала выводится "конечная" формула Тейлора, а потом математики продолжают ее "до бесконечности", превращая в ряд...

(то, что сказано выше -- не строгие формулировки, а просто интуитивные описания)

-- 26.04.2018, 01:35 --

Munin в сообщении #1307467 писал(а):

Есть такое условие:

Вы, похоже, телепат! Я, например, не поняла, что за "сильное условие" имел в виду ТС...

[misha.physics]

Munin,

Цитата:

Есть такое условие: в точке экстремума первая не равная нулю производная - чётная.

Да, но я пока не могу понять, какое это имеет отношение к тому, что Фейнман говорит именно о первом приближении.

Мне кажется, я неплохо сформулировал свое непонимание в одном из моих прошлых сообщений (не знаю как вставить сюда на него ссылку). Там где говорится о точке минимума и функции $y=kx+b$. Может, эсли кому не будет трудно, посмотрите. Возможно так вы лучше поймете, в чем моя проблема...

-- 26 апр 2018, 00:58 --

(Оффтоп)

И можете подсказать, как вы делаете цитирование, так чтобы писало "misha.physics в сообщении #1307464 писал(а):"? Вы нажимаете на кнопку "Цитата" возле сообщения, а потом удаляете все лишнее, или есть какой-то более простой способ? Я пока не нашел. Хотя я уже знаю, что можна скопировать формулу просто выделив её на веб-странице а потом вставить

[provincialka]

Не знаю, что имел в виду Фейнман... Но в точке экстремуму "первое приближение" совпадает с "нулевым"

Вот попробуйте округлить число $a=3,002$ до одного знака после запятой и до двух... Разница будет?

[misha.physics]

provincialka в сообщении #1307481 писал(а):

Не знаю, что имел в виду Фейнман... Но в точке экстремуму "первое приближение" совпадает с "нулевым"

Вот попробуйте округлить число $a=3,002$ до одного знака после запятой и до двух... Разница будет?

А, значит совпадает. Это уже хорошо. Нужно будет ещё подумать об этом.

-- 26 апр 2018, 01:33 --

Я попробую ещё раз.
Пусть у нас есть функция $y=f(x)$. Пусть в точке $x_0$ у неё минимум. Рассмотрим функцию $f(x)$ в маленькой окрестности этой точки $x_0$. Увидим горизонтальную линию. Горизонтальная линия это функция $y=b=const=bx^0$. Это полином нулевой степени относительно x. Здесь было бы логично говорить о нулевом приближении. Что $f(x)$ в точке $x_0$ это полином нулевой степени.

Пусть теперь мы говорим о первом приближении. Это значит что мы рассматриваем $f(x)$ в точке $x_0$ как полином $y=kx+b$, но $k$ у нас равен нулю. Хорошо, значит в первом приближении функция $f(x)$ в точке $x_0$ это тоже горизонтальная прямая. Но так можно сказать и о третьем приближении, и о четвертом...но просто позанулять все коэффициенты возле $x^1, x^2, x^3...$ Не разумнее ли сразу говорить о нулевом приближении как самом "сильном" условии? Или я слово "приближение" употребляю в каком-то своем непонятном смысле?

Не думайте, что я просто докопался до слова, дело не в этом. Просто я не знаю, насколько все плохо в моем понимании.

[provincialka]

misha.physics в сообщении #1307484 писал(а):

Не разумнее ли сразу говорить о нулевом приближении как самом "сильном" условии?

Хм... пытаюсь понять.. Вы почему-то называете "приближение" - "условием".. Почему? Это совсем разные вещи... И в некотором роде "нулевое приближение" слабее "первого".

Вот давайте рассмотрим на примере чисел. Пусть $a\approx 3,1$. Обычно считается, что такое приближение получено округлением. То есть на самом деле $3,05 \leqslant a < 3,15$. В таком предположении что будет означать запись $a\approx 3,10$? Видимо, что $3,095 \leqslant a < 3,105$. Это приближение точнее, это округление до второй цифры. Но ведь числа $3,1$ и $3,10$ совпадают! Да, совпадают. Но погрешности приближенных равенств -- не совпадают!

Если $a\approx 3,1$, то вполне может оказаться, что $a=3,1415...$, но если $a\approx 3,10$, то значение $3,1415...$ уже не подходит ...

По числу верных цифр $a\approx 3,1$ можно было бы назвать "первым приближением" а $a\approx 3,10$ -- "вторым". Хотя приближенные значения в обоих случаях совпадают. Отличается точность!

Аналогично для функций: "Приближение" это другая функция, примерно совпадающая с данной. И приближение тем лучше, чем большей степенью $\Delta x$ мы "пожертвовали".

[Munin]

misha.physics в сообщении #1307464 писал(а):

Вот почему говорится именно о первом приближении? Почему не о нулевом? Или не о втором? У меня первое приближение асоциируется с какой-то линейностью. Но я представляю себе эту точку минимума. Смотрю на эту функции в окрестности этой точки и вижу горизонтальную прямую. И на этом участке заменяю функцию на $y=const$. Но это ведь нулевое приближение. Почему же говорится о первом. Какое отношение имеет линейная функция $y=kx+b$ к этой точке экстремума. Я как-то так рассуждаю :-)

Смотрите.
Нулевое приближение - это приближение вообще константой - горизонтальной прямой.
Первое приближение - это приближение линейной функцией - касательной прямой.
Второе приближение - это приближение уже параболой.
Ну и так далее, кубическая парабола, 4-й степени...

То есть, да. В экстремуме обсуждаемое приближение - это будет приближение горизонтальной прямой. И функция заменяется полиномом 0-й степени. Но важно то, что это на самом деле касательная прямая (и соответствующий алгебраический факт мы тут тоже уже сообщили). В любом месте графика через него можно провести горизонтальную прямую, но только в экстремуме она будет при этом касательной. (И наоборот, только в экстремуме касательная будет горизонтальной.) (Я опускаю отвлекающие оговорки.)

Вообще, вам это уже повторили несколько раз, и я не понимаю, почему вы этого до сих пор не понимаете, топчетесь на месте. Я уже не знаю, что добавить.

Разумеется, частный случай параболы - это прямая. Частный случай прямой - горизонтальная прямая. И т. п. Но есть другой параметр, на который надо обратить внимание (степень касания графика функции и соответствующего аппроксимирующего полинома), и он как раз важен, его нельзя игнорировать.

-- 26.04.2018 03:44:14 --

misha.physics в сообщении #1307484 писал(а):

Это полином нулевой степени относительно x. Здесь было бы логично говорить о нулевом приближении.

Нет. О первом приближении говорят здесь тогда и потому, что приближение совпадает с приближаемой функцией до членов 1-й степени.

misha.physics в сообщении #1307484 писал(а):

Но так можно сказать и о третьем приближении, и о четвертом...но просто позанулять все коэффициенты возле $x^1, x^2, x^3...$

Не всегда можно. Для некоторых функций можно, для некоторых (большинства) - нельзя. Чтобы занулить какой-то коэффициент, функция должна совпасть с приближением именно с точностью до этой степени (или выше). Иначе это приближением считаться не будет. Называть это приближением - будет враньём.

misha.physics в сообщении #1307484 писал(а):

Или я слово "приближение" употребляю в каком-то своем непонятном смысле?

Скорей всего, вы не понимаете, что такое "приближение" в общепринятом смысле.

misha.physics в сообщении #1307484 писал(а):

Просто я не знаю, насколько все плохо в моем понимании.

Ну... на уровне незнания 1 семестра 1 курса матанализа - вот настолько всё плохо. Почитайте стандартные учебники на эту тему (какие-нибудь Фихтенгольц, Ильин-Позняк).

[misha.physics]

provincialka, Munin, спасибо, что пытаетесь объяснить. И простите, что так долго разгоняюсь.

Цитата:

Нет. О первом приближении говорят здесь тогда и потому, что приближение совпадает с приближаемой функцией до членов 1-й степени.

Вот это мне должно бы помочь. Если бы я это понял.
Получается как-бы, что о 1-м приближении говорят для того, чтобы подчеркнуть, что у нас существует производная? Но если мы возьмем например квадратическую параболу, то у нее в каждой точке сущесвует произвдная (я понимаю, что есть не такие уж хорошие функции, но та, которая у Фейнмана - явно хорошая ). Но только в её вершине (минимуме) касательная горизонтальна. А Фейнман как раз и говорит о точках, лежащих вблизи точки минимума. Я думал, что их нужно как-то выделить на фоне других.

Вы правы, лучше ещё почитать об этом в учебниках. Я не могу злоупотреблять вашим терпением Но если ещё будут какие-то идеи как мне это объяснить, то я буду очень рад :)

[provincialka]

А вы разобрали примеры которые я приводила?
Ну, давайте не многочлен возьмем. Раз уж вы знаете ряды Тейлора, то согласитесь, что

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}- ...$$

При $x\to 0 $ слагаемые большей степени малы по сравнению со слагаемыми меньшей.
Поэтому формулы Тейлора для косинуса будут иметь вид
$\cos x=1+o(1)$ $(\eqno 1)$
$\cos x = 1 +o(x)$ $(\eqno 2)$
$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ $(\eqno 3)$
$\cos x = 1-\frac{x^2}{2}+o(x^3)$ $(\eqno 4)$
...
Как видите, некоторые многочлены Тейлора здесь совпадают. Скажем, $T_0=T_1=1$. Но сами формулы Тейлора (1) и (2) различны! Догадайтесь сами, чем они отличаются...

Так вот, формула (1) даёт нулевое приближение, а (2) -- первое. И хотя многочлены там одинаковые, точность приближения разная!

Например, можно написать, что $1+x = 1+o(1)$ или $1- x/2 = 1+o(1)$ или $1+3x = 1+o(1)$ при $x\to 0$. Но ни одна из этих функций не может быть представлена как $1+o(x)$!


В общем, качество приближения (нулевое, первое и т.п.) определяется не теми слагаемыми, которые мы выписали а теми, которые отбросили!

[EUgeneUS]

Тоже попробую объяснить тоже самое, но "другим словами".

misha.physics
Давайте зададимся вопросом, что такое приближение. Какое определение у этого термина?

Вот например, в этих примерах что есть приближение:

Munin в сообщении #1307133 писал(а):

Нулевое приближение: $f(x)=f^{(0)}\,\Delta x^0+o(\Delta x^0)$
Первое приближение: $f(x)=f^{(0)}\,\Delta x^0+f^{(1)}\,\Delta x^1+o(\Delta x^1)$
Второе приближение: $f(x)=f^{(0)}\,\Delta x^0+f^{(1)}\,\Delta x^1+\tfrac{1}{2}f^{(2)}\,\Delta x^2+o(\Delta x^2)$ И так далее.

Давайте назовем (в данном случае) приближением апроксимирующую функцию. Разница между функций и апроксимурующей функцией называется остаточным членом.
Теперь вернемся к этим примерам.
Для первой строчки (нулевое приближение): $o(\Delta x^0)$ - остаточный член, $f(x)-o(\Delta x^0)=f^{(0)}\,\Delta x^0$ - апроксимирующая функция (мы её назвали приближением)
Для второй строчки (первое приближение): $o(\Delta x^1)$ - остаточный член, $f(x)-o(\Delta x^1)=f^{(0)}\,\Delta x^0+f^{(1)}\,\Delta x^1$- апроксимирующая функция (мы её назвали приближением)
И так далее.
Теперь договоримся, что "номером" или "порядком" приближения будем назвать порядок остаточного члена.

Да, для некоторых функций в некоторых точках, некоторые приближения разных порядков могут совпадать, в том смысле, что окажутся равны правые части равенств. Но это не означает, что это одни и те же приближения, так как порядок приближения в такой записи определяется левой частью, а именно - порядком остаточного члена в ней.

[misha.physics]

provincialka, да примеры ваши я разобрал.

Я понял как вы получили эти многочлены $T_0, T_1,...$ Это можно даже проверить взяв производные и подставив их в ряд Тейлора.

Пример о точности числа я тоже понял. И я понял, что вы имеете ввиду, что "первое приближение в каком-то смысле сильнее нулевого". Это больше точность.

EUgeneUS, я понимаю, что вы имели ввиду. Вы тоже о "точности". То есть, если какое то число равно 1 в первом приближении, то оно будет равно единице и в нулевом приближении. А вот во втором приближении это уже не обязательно так. Может быть, например, 1,02.

Ваши мысли о том, что главное, что не больше чем $o(\Delta x^1)$ я интуитивно тоже понял.

А сейчас вернусь к главному вопросу. Есть утверджение:
Это означает, что для точек $X$ вблизи $C$ в первом приближении время прохождения практически одинаковое.

Напишем ещё так:
Это означает, что для точек $X$ вблизи $C$ в нулевом приближении время прохождения практически одинаковое.

И так:
Это означает, что для точек $X$ вблизи $C$ во втором приближении время прохождения практически одинаковое.

Почему было сказано именно первое. Это ведь неспроста?

И вот Munin писал:

Цитата:

Речь о том, что отбрасываются члены степени $>1.$

Цитата:

То есть, суть не в том, что в многочлене нет $\Delta x^1,$ а в том, что остаточный член имеет вид $o(\Delta x^1).$

Цитата:

О первом приближении говорят здесь тогда и потому, что приближение совпадает с приближаемой функцией до членов 1-й степени.

Везде говорится о точности 1-го порядка. Почему именно 1-го?
Когда я говорил о "нулевом порядке", то говорил о нем потому, что в точке минимума фукнция похожа на константу. А это полином нулевой степени. Я здесь не все понимал, но это мне казалось более понятным. Но как связаны между собой минимум и первое приближение? Минимум и единица?

[provincialka]

misha.physics в сообщении #1307577 писал(а):

время прохождения практически одинаковое.

А где здесь, собственно, минимум? Какое он к этому имеет отношение? Минимум чего?
Кроме того, мы можем говорить о "первом приближении" только для функции: функция (например, разница времён) сравнивается со своим аргументом (точнее, его приращением). А от чего зависит время прохождения? Каков его аргумент?

-- 26.04.2018, 12:53 --

Ведь слова "в первом приближении" можно считать не строго математическими, просто фигура речи..

[misha.physics]

provincialka, да я виноват. Нужно было сформулировать задачу полностью.

Рассматривается задача об преломлении света. Нужно найти такую промежуточную точку преломления (на границе двух сред), для которой время прохождение света между двумя закрепленными точками будет наименьшим. То есть у нас есть функция времени прохождения светом от одной точки к другой, а аргументом выступает как бы положение этой промежуточной точки (ну можно было бы сказать о её координате). И известно, что такая функция имеет минимум. Он и реализуется в природе. И мы ищем эту точку из тех соображений, что сравниваем функцию в близких точках к искомой и говорим, что время прохождения для них должно быть "практически" одинаковым. И Фейнман говорит здесь о первом приближении.

Цитата:

Ведь слова "в первом приближении" можно считать не строго математическими, просто фигура речи..

Будет весело, если это и имелось ввиду

Может быть вам будет интересно прочитать об этом у самого Фейнмана. Это глава 26, параграф 3. (Фейнмановские лекции по физике.)

[provincialka]

Ну, тут минимум не функции, а функционала... Вариационное исчисление. Но "в первом приближении" -- именно математический смысл. То есть в точке минимума попытка варьировать путь не дает заметного изменения времени прохождения (здесь есть аналогия с производной, но это все-таки не производная, а вариация).

[misha.physics]

provincialka,

Цитата:

Но "в первом приближении" -- именно математический смысл. То есть в точке минимума попытка варьировать путь не дает заметного изменения времени прохождения

Отлично. Теперь этот математический смысл нужно понять. Значит между словами "заметного изменения" и "в первом приближении" есть связь, которую я ещё не до конца понял. И мне раньше представлялось, что намного больше связи между словами "заметного изменения" и "в нулевом приближении".