Среднее значение вектора на пучок прямых

[Rusit8800]

Рассмотрим на координатной плоскости вектор $\[\overrightarrow a \]$ и семейство всевозможных прямых, проходящих через начало координат (они параметризуются единичной полуокружностью). Чему равно среднее значение длины проекции вектора $\[\overrightarrow a \]$ на прямую данного семейства?

Пусть угол между $Ox$ и $\[\overrightarrow a \]$ и прямыми равен соответственно $\alpha$ и $\varphi$

Задача сводится к вычислению интеграла

$$\frac{1}{\pi }\int\limits_0^\pi {a\left| {\cos (\varphi - \alpha )} \right|} d\varphi $$

У меня выходит

$$\[\frac{{2a}}{\pi }\sin (\alpha )\]$$

То есть среднее значение зависит от $\alpha$, а не должно. Если положить $\alpha=\pi/2$, то получится верный ответ.

[arseniiv]

Как понимаю, забыли правильно учесть модуль (если его выкинуть, получается как раз текущее).

-- Вт апр 24, 2018 19:43:36 --

Кстати, если выбрать полуокружность направляющих векторов прямых аккуратно (так, чтобы диаметр, на котором она построена, был перпендикулярен $\vec a$), тогда все эти векторы дают с $\vec a$ неотрицательное скалярное произведение, и модуль в интеграле не понадобится. Ну и избавиться от $\alpha$ поворотом (нетрудно показать, что результат при поворотах инвариантен).

[Rusit8800]

arseniiv в сообщении #1306977 писал(а):

Кстати, если выбрать полуокружность направляющих векторов прямых аккуратно (так, чтобы диаметр, на котором она построена, был перпендикулярен $\vec a$), тогда все эти векторы дают с $\vec a$ неотрицательное скалярное произведение, и модуль в интеграле не понадобится. Ну и избавиться от $\alpha$ поворотом (нетрудно показать, что результат при поворотах инвариантен).

У меня был этот ход мыслей. Но написал я сюда из-за этого хитроумного модуля. Я могу получить в лоб верный результат.

[INGELRII]

Видимо, неправильно считаете интеграл. Разбейте его на два куска: тот, где подмодульный косинус положителен, и тот, где он отрицателен. Если совсем туго, то вычислите каждый интеграл по отдельности и сложите результаты. Главное, не запутайтесь в плюсАх-минусАх, и все должно получиться. Если все равно не выходит, приведите здесь подробные попытки решения, беру на себя труд ткнуть пальцем в ошибку.

(Оффтоп)

Интегральчик вышел действительно мутный, при попытке честно посчитать его в уме, типа я не догадываюсь какой там результат, действительно легче легкого пропустить где-нибудь минус; я так и не осилил его без бумажки...

[TOTAL]

Rusit8800 в сообщении #1306972 писал(а):

Рассмотрим на координатной плоскости вектор $\[\overrightarrow a \]$ и семейство всевозможных прямых, проходящих через начало координат (они параметризуются единичной полуокружностью). Чему равно среднее значение длины проекции вектора $\[\overrightarrow a \]$ на прямую данного семейства?

Ответ зависит от расположения единичной полуокружности.

[EUgeneUS]

TOTAL в сообщении #1307138 писал(а):

Ответ зависит от расположения единичной полуокружности.

Нет. У $f(x) = |\cos x|$ период $\pi$.

[TOTAL]

EUgeneUS в сообщении #1307148 писал(а):

TOTAL в сообщении #1307138 писал(а):

Ответ зависит от расположения единичной полуокружности.

Нет. У $f(x) = |\cos x|$ период $\pi$.

Решите задачу для разных единичных полуокружностей
$1=(x-1000)^2+y^2$
$1=(y-1000)^2+x^2$

[EUgeneUS]

TOTAL
Вот Вы о чём.
Так из постановки задачи в первом посте, следует, что центр единичной полуокружности в начале координат.

[TOTAL]

EUgeneUS в сообщении #1307187 писал(а):

TOTAL
Вот Вы о чём.
Так из постановки задачи в первом посте, следует, что центр единичной полуокружности в начале координат.

Как следует именно из постановки?

[EUgeneUS]

Rusit8800 в сообщении #1306972 писал(а):

Рассмотрим на координатной плоскости вектор $\[\overrightarrow a \]$ и семейство всевозможных прямых, проходящих через начало координат (они параметризуются единичной полуокружностью). Чему равно среднее значение длины проекции вектора $\[\overrightarrow a \]$ на прямую данного семейства?

Вычеркнул то, что в скобках, как некие мысли ТС по поводу хода решения.
1. Положение прямой из этого семейства определяется углом между прямой и какой-нибудь осью, а длина проекции углом между вектором и прямой.
То есть никаких окружностей и полуокружностей просто не нужно.
Но нужно сделать неявное (но естественное) предположение, что углы этих прямых распределены равномерно.
Для удобства визуализации можно представить полуокружность с центром в начале координат.

2. Если же то, что в скобках, считать частью условия (а не частью мыслей ТС по поводу условия), то получается, что "плотность" прямых задается некой кривой, при этом
а) нужно сделать подобное неявное допущение: что распределение прямых, пересекающих кривую равномерное по длине кривой.
б) при этом условия становятся не полными - расположение полуокружности, действительно, не задано.
в) Однако, некоторые смещение полуокружности из центра приводит к тому, что условия становятся противоречивыми - полуокружность перестает "параметризировать" все возможные прямые, проходящие через начало координат, либо одна и та же прямая проходит через полуокружность дважды.
Уж очень много допущений в этом варианте прочтения условий.

[TOTAL]

EUgeneUS в сообщении #1307192 писал(а):

Но нужно сделать неявное (но естественное) предположение, что углы этих прямых распределены равномерно.
Для удобства визуализации можно представить полуокружность с центром в начале координат.

Полуокружность можно представить. Но удобства все равно не получается, т.к. опять нужно делать неявное предположение про специальную (но естественную) параметризацию.