Найти неопределённый интеграл.

[megatumoxa]

Решить задачу, сначала приведя к интегралу от рациональной функции, и, если потребуется, применить метод неопределённых коэффициентов или метод Остроградского.

$\frac{1}{64}\int\limits_{}^{}\frac{(\sqrt{x^2+x+64}+8)^3(4x+1)^2}{(x-4)(\sqrt{x^2+x+64}-8)}dx$

Пытался что-то придумать, чтобы все "красиво" преобразовать, но ничего не выходит. Открывать по формулам сокращённого умножения или всё-таки как-то можно упростить? Под корнем хорошо сворачивается в квадрат разности, но дальше это ничего не даёт (для меня ).

-- 22.04.2018, 23:49 --

Не, просто раскрывать скобки точно не лучшее решение.

[DeBill]

Погуглите Подстановки Эйлера (хороша - вторая). А можно и в учебник посмотреть...

[Markiyan Hirnyk]

Ничего "красивого" и простого не получается. И Математика и Мэйпл производят ответы, занимающие несколько строк с коэффициентами типа $\frac{784057}{80}$.

[megatumoxa]

Впервые использую подстановку Эйлера. Так что распишу только то, что получилось на данный момент. В правильном ли я направлении?

$\sqrt{x^2+x+64}=xt-8$

$x^2+x+64=(xt-8)^2=x^2t^2-16xt+64$

$x=\frac{16t+1}{t^2-1}$

$dx=-2\frac{8t^2+t+8}{(t^2-1)^2}dt$

Подставляем:

$$\frac{1}{64}\int\limits_{}^{}\frac{(\sqrt{x^2+x+64}+8)^3(4x+1)^2}{(x-4)(\sqrt{x^2+x+64}-8)}dx=\frac{1}{64}\int\frac{\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)^3t^3\left(4\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)+1\right)^2\left(-2\frac{8t^2+t+8}{(t^2-1)^2}\right)}{\left(\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)-4\right)\left(\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)t-16\right)}dt$$

-- 23.04.2018, 01:40 --

Немного упростить получилось, не знаю, нужно ли это вообще:

$$I=-\frac{1}{32}\int\frac{\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)^3t^3\left(4\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)+1\right)^2\left(\frac{8t^2+t+8}{(t^2-1)^2}\right)}{\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)\left(1-\frac{4}{\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)}\right)\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)t\left(1-\frac{16}{t\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)}\right)}dt$$

$$I=-\frac{1}{32}\int\frac{\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)t^2\left(4\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)+1\right)^2\left(\frac{8t^2+t+8}{(t^2-1)^2}\right)}{\left(1-\frac{4}{\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)}\right)\left(1-\frac{16}{t\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)}\right)}dt$$

[megatumoxa]

$$I=-\frac{1}{32}\int\frac{\frac{1}{t^2-1}(16t+1)t^2\left(16\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)^2+8\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)+1\right)(8t^2+t+8)\frac{1}{(t^2-1)^2}}{\left(1-\frac{4}{\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)}\right)\left(1-\frac{16}{t\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)}\right)}dt$$

$$I=-\frac{1}{32}\int\frac{(16t+1)t^2\left(16\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)^2+8\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)+1\right)(8t^2+t+8)}{(t^2-1)\left(1-\frac{4}{\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)}\right)\left(1-\frac{16}{t\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)}\right)(t^2-1)^2}dt$$

[iifat]

Упрощение какое-то сомнительное. Вы точно знаете, как интегрировать дробно-рациональную функцию? Я как-то не пойму, куда именно вы пытаетесь упростить.

[megatumoxa]

iifat в сообщении #1306574 писал(а):

Упрощение какое-то сомнительное. Вы точно знаете, как интегрировать дробно-рациональную функцию? Я как-то не пойму, куда именно вы пытаетесь упростить.

Не знаю как тут можно удачно упростить.

[kotenok gav]

megatumoxa
https://ru.wikibooks.org/wiki/%D0%98%D0 ... 0%B8%D1%8F
https://ru.wikibooks.org/wiki/%D0%98%D0 ... 0%B8%D0%B9

-- 23 апр 2018, 18:40 --

megatumoxa в сообщении #1306543 писал(а):

$$I=-\frac{1}{32}\int\frac{\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)t^2\left(4\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)+1\right)^2\left(\frac{8t^2+t+8}{(t^2-1)^2}\right)}{\left(1-\frac{4}{\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)}\right)\left(1-\frac{16}{t\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)}\right)}dt$$

Домножьте числитель и знаменатель на $(t^2-1)^2$ и НЕ раскрывайте скобки.

[DeBill]

Но в скобках то - приведите к общему знаменателю. И избавьтесь, наконец, от многоэтажных дробей (умеете ли Вы делить-умножать дробь на дробь?)

[kotenok gav]

DeBill в сообщении #1306643 писал(а):

Но в скобках то - приведите к общему знаменателю.

Там вообще не надо приводить - умножение на $(t^2-1)^7$ выражения которое получается сразу после подставновки, решает эту проблему и приводит выражение к отношению многочленов.

[DeBill]

megatumoxa в сообщении #1306543 писал(а):

нужно ли это вообще:

Не нужно, стало много хуже...

[megatumoxa]

DeBill в сообщении #1306672 писал(а):

Там вообще не надо приводить - умножение на $(t^2-1)^7$ выражения которое получается сразу после подставновки, решает эту проблему и приводит выражение к отношению многочленов.

$$I=\frac{1}{64}\int\frac{\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)^3t^3\left(4\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)+1\right)^2\left(-2\frac{8t^2+t+8}{(t^2-1)^2}\right)(t^2-1)^7}{\left(\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)-4\right)\left(\left(\frac{16t+1}{t^2-1}\right)t-16\right)(t^2-1)^7}dt$$

$$I=-\frac{1}{32}\int\frac{t^3\cdot(16t+1)^3\cdot(16(16t+1)^2+8(16t+1)(t^2-1)+(t^2-1))\cdot(8t^2+t+8)}{((16t+1)-4(t^2-1))\cdot(t(16t+1)-16(t^2-1))\cdot(t^2-1)^5}dt$$

-- 24.04.2018, 03:45 --
Я сразу знак вынес из знаменателя, можно ещё первую скобку разложить на две, но они будут с корнями.

$$I=\frac{1}{32}\int\frac{t^3\cdot(16t+1)^3\cdot(16(16t+1)^2+8(16t+1)(t^2-1)+(t^2-1))\cdot(8t^2+t+8)}{(4t^2-16-5)\cdot(t+16)\cdot(t^2-1)^5}dt$$

[kotenok gav]

Теперь раскройте все скобки и примените метод Остроградского.

[megatumoxa]

kotenok gav в сообщении #1306839 писал(а):

Теперь раскройте все скобки и примените метод Остроградского.

Нужно раскрыть абсолютно все скобки дроби? Не слишком ли огромные значения получаются?

[kotenok gav]

А что вы хотели?

Markiyan Hirnyk в сообщении #1306527 писал(а):

И Математика и Мэйпл производят ответы, занимающие несколько строк