2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 кривые в пространстве Лобачевского
Сообщение22.04.2018, 16:52 


15/12/15
48
Здравствуйте!

Известно, что винтовые линии в $\mathbb{R}^3$ имеют постоянные кривизну и кручение.
А какие кривые имеют постоянные кривизну и кручение (не обязательно нулевые) в пространстве Лобачевского?

 Профиль  
                  
 
 Re: кривые в пространстве Лобачевского
Сообщение22.04.2018, 20:19 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Окружности :D

 Профиль  
                  
 
 Re: кривые в пространстве Лобачевского
Сообщение22.04.2018, 20:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
IrinaZub в сообщении #1306428 писал(а):
А какие кривые имеют постоянные кривизну и кручение (не обязательно нулевые) в пространстве Лобачевского?

Определите для начала кривизну кривой на плоскости Лобачевского

 Профиль  
                  
 
 Re: кривые в пространстве Лобачевского
Сообщение22.04.2018, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
IrinaZub в сообщении #1306428 писал(а):
Известно, что винтовые линии в $\mathbb{R}^3$ имеют постоянные кривизну и кручение.
А какие кривые имеют постоянные кривизну и кручение (не обязательно нулевые) в пространстве Лобачевского?

Ну, какие-то свои аналоги винтовых линий. Вряд ли у них есть специальное название.

Если хотите, можете рассчитать такую кривую.

-- 22.04.2018 22:58:55 --

alcoholist в сообщении #1306487 писал(а):
Определите для начала кривизну кривой на плоскости Лобачевского

Вряд ли имеет смысл дефинировать что-то отличающееся от кривизны и кручения в смысле касательного в точке евклидова пространства.

 Профиль  
                  
 
 Re: кривые в пространстве Лобачевского
Сообщение23.04.2018, 05:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Munin в сообщении #1306522 писал(а):
Вряд ли имеет смысл дефинировать что-то отличающееся от кривизны и кручения в смысле касательного в точке евклидова пространства

Обратный радиус касающейся окружности?

 Профиль  
                  
 
 Re: кривые в пространстве Лобачевского
Сообщение23.04.2018, 09:22 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
Насколько я понимаю, кручение кривой в $\mathbb R^3$ не имеет совершенно никакого отношение к кручению связности, которое тензор. Просто случайно разные вещи называются одним словом.

 Профиль  
                  
 
 Re: кривые в пространстве Лобачевского
Сообщение23.04.2018, 11:03 


15/12/15
48
Формулы для кривизны и кручения (с выводом) в модели Бельтрами-Клейна (в шаре) я нашла в учебно-методическом пособии Сосова "Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности".

 Профиль  
                  
 
 Re: кривые в пространстве Лобачевского
Сообщение23.04.2018, 12:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
alcoholist в сообщении #1306576 писал(а):
Обратный радиус касающейся окружности?

Кривизна да. С кручением хитрее.

IrinaZub
Лично я из всех моделей пространства Лобачевского предпочитаю на гиперболоиде. Зачем математики вообще вспоминают все остальные - для меня загадка.

 Профиль  
                  
 
 Re: кривые в пространстве Лобачевского
Сообщение23.04.2018, 12:41 


15/12/15
48
Munin
Да я тоже предпочитаю на гиперболоиде. Но там простой переход от модели на гиперболоиде к модели в шаре:
$(t,x,y,z)\rightarrow (x/t,y/t,z/t),$ так что не принципиально, что формулы даны именно в модели Бельтрама-Клейна.

 Профиль  
                  
 
 Re: кривые в пространстве Лобачевского
Сообщение23.04.2018, 13:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ну чего, осталось выписать, проинтегрировать и найти симметрии получившейся кривой. И можно надеяться, что этой линии присвоят ваше имя!

 Профиль  
                  
 
 Re: кривые в пространстве Лобачевского
Сообщение23.04.2018, 14:41 


15/12/15
48
Munin
У меня задача попроще. :-) Кривая уже есть (причем на гиперболоиде). И есть весомые основания считать, что у нее постоянные кривизны и кручение в пространстве Лобачевского, и я даже знаю, чему они равны. Но вот напрямую считать их по приведенным в книге Сосова формулам как-то очень не хочется. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: кривые в пространстве Лобачевского
Сообщение23.04.2018, 15:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Заставьте машину! Пусть машина считает!

Вариант: сдвиньте кривую по самой себе, тогда считать придётся по более простым формулам. И вообще, если у кривой есть нужная симметрия (сдвига по самой себе), то можно вообще ничего не считать.

А на будущее: сразу начинайте с той задачи, которую на самом деле надо решить. Иначе будет XY problem.

 Профиль  
                  
 
 Re: кривые в пространстве Лобачевского
Сообщение23.04.2018, 21:13 


15/12/15
48
Munin
Машину я буду использовать в крайнем случае, если ничего другого не придумаю.
Мне здесь важен не только результат (да, кривизна и кручение постоянны), важно понять, почему это так.
Сдвиньте кривую по самой себе: вместо кривой $\gamma(t)$ рассмотреть кривую $\gamma(t-t_0)$ для некоторого $t_0$? Надо подумать, какая должна быть симметрия, чтобы кривизна и кручение не изменились.
Спасибо за идею. :-)

Об XY problem я прочитала, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: кривые в пространстве Лобачевского
Сообщение25.04.2018, 02:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
IrinaZub в сообщении #1306773 писал(а):
Сдвиньте кривую по самой себе: вместо кривой $\gamma(t)$ рассмотреть кривую $\gamma(t-t_0)$ для некоторого $t_0$?

Ага, + совершить движение пространства, так чтобы точка $\gamma(-t_0)$ попала в бывшую точку $\gamma(0).$

 Профиль  
                  
 
 Re: кривые в пространстве Лобачевского
Сообщение01.05.2018, 14:36 


15/12/15
48
Munin
Munin в сообщении #1307122 писал(а):
IrinaZub в сообщении #1306773 писал(а):
Сдвиньте кривую по самой себе: вместо кривой $\gamma(t)$ рассмотреть кривую $\gamma(t-t_0)$ для некоторого $t_0$?

Ага, + совершить движение пространства, так чтобы точка $\gamma(-t_0)$ попала в бывшую точку $\gamma(0).$

Сделала. Нашла кривую $c(t):=A(\gamma(t-t_0))$, где $A$ - движение пространства Лобачевского, переводящее точку $\gamma(-t_0)$ в точку $\gamma(0)=(1,0,0,0)$.
У меня получилось, что кривая $c(t)$ принадлежит семейству кривых, которое я рассматриваю, т.е. (скорее всего, это так) у $c(t)$ кривизна и кручение постоянны. Но какой из этого можно сделать вывод?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group