кривые в пространстве Лобачевского

[IrinaZub]

Здравствуйте!

Известно, что винтовые линии в $\mathbb{R}^3$ имеют постоянные кривизну и кручение.
А какие кривые имеют постоянные кривизну и кручение (не обязательно нулевые) в пространстве Лобачевского?

[Sicker]

Окружности

[alcoholist]

IrinaZub в сообщении #1306428 писал(а):

А какие кривые имеют постоянные кривизну и кручение (не обязательно нулевые) в пространстве Лобачевского?

Определите для начала кривизну кривой на плоскости Лобачевского

[Munin]

IrinaZub в сообщении #1306428 писал(а):

Известно, что винтовые линии в $\mathbb{R}^3$ имеют постоянные кривизну и кручение.
А какие кривые имеют постоянные кривизну и кручение (не обязательно нулевые) в пространстве Лобачевского?

Ну, какие-то свои аналоги винтовых линий. Вряд ли у них есть специальное название.

Если хотите, можете рассчитать такую кривую.

-- 22.04.2018 22:58:55 --

alcoholist в сообщении #1306487 писал(а):

Определите для начала кривизну кривой на плоскости Лобачевского

Вряд ли имеет смысл дефинировать что-то отличающееся от кривизны и кручения в смысле касательного в точке евклидова пространства.

[alcoholist]

Munin в сообщении #1306522 писал(а):

Вряд ли имеет смысл дефинировать что-то отличающееся от кривизны и кручения в смысле касательного в точке евклидова пространства

Обратный радиус касающейся окружности?

[Slav-27]

Насколько я понимаю, кручение кривой в $\mathbb R^3$ не имеет совершенно никакого отношение к кручению связности, которое тензор. Просто случайно разные вещи называются одним словом.

[IrinaZub]

Формулы для кривизны и кручения (с выводом) в модели Бельтрами-Клейна (в шаре) я нашла в учебно-методическом пособии Сосова "Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности".

[Munin]

alcoholist в сообщении #1306576 писал(а):

Обратный радиус касающейся окружности?

Кривизна да. С кручением хитрее.

IrinaZub
Лично я из всех моделей пространства Лобачевского предпочитаю на гиперболоиде. Зачем математики вообще вспоминают все остальные - для меня загадка.

[IrinaZub]

Munin
Да я тоже предпочитаю на гиперболоиде. Но там простой переход от модели на гиперболоиде к модели в шаре:
$(t,x,y,z)\rightarrow (x/t,y/t,z/t),$ так что не принципиально, что формулы даны именно в модели Бельтрама-Клейна.

[Munin]

Ну чего, осталось выписать, проинтегрировать и найти симметрии получившейся кривой. И можно надеяться, что этой линии присвоят ваше имя!

[IrinaZub]

Munin
У меня задача попроще. Кривая уже есть (причем на гиперболоиде). И есть весомые основания считать, что у нее постоянные кривизны и кручение в пространстве Лобачевского, и я даже знаю, чему они равны. Но вот напрямую считать их по приведенным в книге Сосова формулам как-то очень не хочется.

[Munin]

Заставьте машину! Пусть машина считает!

Вариант: сдвиньте кривую по самой себе, тогда считать придётся по более простым формулам. И вообще, если у кривой есть нужная симметрия (сдвига по самой себе), то можно вообще ничего не считать.

А на будущее: сразу начинайте с той задачи, которую на самом деле надо решить. Иначе будет XY problem.

(XY problem)

Munin в сообщении #1140802 писал(а):

aa_dav в сообщении #1081373 писал(а):

Рекомендую ознакомится с: http://meta.ru.stackoverflow.com/questions/709/Что-такое-Ошибка-x-y-или-xy-problem (прокрутите чуть ниже до "Что такое 'ошибка X-Y'?")

(прокрутил: http://meta.ru.stackoverflow.com/a/710 )

[IrinaZub]

Munin
Машину я буду использовать в крайнем случае, если ничего другого не придумаю.
Мне здесь важен не только результат (да, кривизна и кручение постоянны), важно понять, почему это так.
Сдвиньте кривую по самой себе: вместо кривой $\gamma(t)$ рассмотреть кривую $\gamma(t-t_0)$ для некоторого $t_0$? Надо подумать, какая должна быть симметрия, чтобы кривизна и кручение не изменились.
Спасибо за идею.

Об XY problem я прочитала, спасибо.

[Munin]

IrinaZub в сообщении #1306773 писал(а):

Сдвиньте кривую по самой себе: вместо кривой $\gamma(t)$ рассмотреть кривую $\gamma(t-t_0)$ для некоторого $t_0$?

Ага, + совершить движение пространства, так чтобы точка $\gamma(-t_0)$ попала в бывшую точку $\gamma(0).$

[IrinaZub]

Munin

Munin в сообщении #1307122 писал(а):

IrinaZub в сообщении #1306773 писал(а):

Сдвиньте кривую по самой себе: вместо кривой $\gamma(t)$ рассмотреть кривую $\gamma(t-t_0)$ для некоторого $t_0$?

Ага, + совершить движение пространства, так чтобы точка $\gamma(-t_0)$ попала в бывшую точку $\gamma(0).$

Сделала. Нашла кривую $c(t):=A(\gamma(t-t_0))$, где $A$ - движение пространства Лобачевского, переводящее точку $\gamma(-t_0)$ в точку $\gamma(0)=(1,0,0,0)$.
У меня получилось, что кривая $c(t)$ принадлежит семейству кривых, которое я рассматриваю, т.е. (скорее всего, это так) у $c(t)$ кривизна и кручение постоянны. Но какой из этого можно сделать вывод?