Дифур с периодической дельтой

[bayak]

Red_Herring в сообщении #1305981 писал(а):

Нет, именно от него все и идет, но только потом он сводится, как вам объяснили

Извините за повтор, но мне необходимо пояснение. Вы утверждаете, что все идёт от исходного уравнения, которое потом сводится (как я понял - допускает переход уравнения с функцией от двух переменных к уравнению с функцией от одной переменной и параметром), но я не понимаю как можно получить задачу на собственные значения без знания собственных решений, которые задаются начальными условиями $u(z,0)=0$.

[Red_Herring]

bayak в сообщении #1306584 писал(а):

Вы утверждаете, что все идёт от исходного уравнения, которое потом сводится (как я понял - допускает переход уравнения с функцией от двух переменных к уравнению с функцией от одной переменной и параметром),

Никаким исходным уравнением вы с нами не поделились, а только одним ОДУ с переменной $x$ и параметром $z$, которое в любом варианте: с умножением $\delta$ на $u(x)$ или без, вполне тривиально на промежутках между целыми точками, и решение имеет вид суммы двух экспонент, с коэффициентами, меняющимися от промежутка к промежутку, а в целых точках переходит в систему сопряжения этих решений (см, что писал sup). Это и означает "сводится"

[bayak]

Red_Herring, спасибо за пояснения. В дальнейшем буду более внимательно читать ответы мэтров. Что касается исходного уравнения, то тут должна быть следующая цепочка: исходное - уравнение теплопроводности с начальными условиями в виде периодической дельты

$$\frac{\partial \varphi(x,\tau)}{\partial t}= \frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2 \varphi(x,\tau)}{\partial x^2}$$

потом замена переменной $\tau=\mathrm{e}^{t}$

$$\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}= \frac{\mathrm{e}^{t}}{4\pi} \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2}$$

и интегральное преобразование

$$\mathrm{i}zu(z,x)-\sum\limits_{m\in\mathbb{Z}}\delta (x-m) = \frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2 u(z-1,x)}{\partial x^2}$$

где

$$u(z,x)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\psi(t,x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}zt} \mathrm{d}t$$

Это несколько отличается от того что было в стартовом посте, но тут уж извините - как всегда меня подводит математическая неаккуратность.