Проверка решения. Демидович, предел последовательности.

[Ivan_B]

Демидович 94.
Доказать, что сходящаяся числовая последовательность достигает либо своей верхней грани, либо своей нижней грани, либо той и другой. Построить примеры последовательностей всех трех типов.

Если сходящаяся последовательность не достигает своей грани $S$, то в любой окрестности $S$ найдется элемент этой последовательности.
Тогда последовательность содержит подпоследовательность, которая сходится к $S$.
Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к пределу этой последовательности.
Тогда $S$ - предел исходной последовательности.
Последовательность не может иметь больше одного предела, поэтому недостижимых граней не больше одной.
Примеры: $x_n=\frac{1}{n}, x_n=-\frac{1}{n}, x_n=(-1)^n\frac{1}{n}$
Будет ли засчитано такое решение на экзамене?

[provincialka]

В принципе неплохо, при условии, что вы можете каждое высказывание перевести на язык определений, на язык $\varepsilon, n$.
Фраза про "недостижимость" несколько напрягла... Непонятно.

[Ivan_B]

provincialka в сообщении #1305256 писал(а):

при условии, что вы можете каждое высказывание перевести на язык определений, на язык $\varepsilon, n$.

Дано $\exists A, \lim\limits_{n \to \infty}x_n=A$
Предположим $S=\sup{x_n}$ и $\forall x_n S\neq x_n$
Откуда $\forall \varepsilon \exists x_n S-x_n < \varepsilon$
тогда $\exists \left\{n_k\right\}, \lim\limits_{k \to \infty}x_{n_k} = S$
С другой стороны $\lim\limits_{n \to \infty}x_n=A \Rightarrow \lim\limits_{k \to \infty}x_{n_k}=A \Rightarrow A=S$
То же предположение можно сделать для $I=\inf{x_n}$, откуда $I=A$
$\exists! A \lim\limits_{n \to \infty}x_n=A \Rightarrow A\neq I \vee A\neq S$

[provincialka]

Ivan_B в сообщении #1305265 писал(а):

тогда $\exists \left\{n_k\right\}, \lim\limits_{k \to \infty}x_{n_k} = S$

Тут подробнее: как именно выбирается подпоследовательность?

Впрочем, может, отдельные "кирпичики" ваших рассуждений уже известны из лекций, тогда вам можно использовать их как готовые.

-- 18.04.2018, 13:28 --

Последняя фраза по прежнему загадочна.. Лучше переведите ее на нормальный, человеческий язык... Про какие последовательности вы говорите? Все? Некоторые?
Само следование

provincialka в сообщении #1305267 писал(а):

$\exists! A \lim\limits_{n \to \infty}x_n=A \Rightarrow A\neq I \vee A\neq S$

неверно, вы пропустили один экзотический случай.

[Ivan_B]

provincialka в сообщении #1305267 писал(а):

Тут подробнее: как именно выбирается подпоследовательность?

$\exists \left\{n_k\right\}, n_k<n_{k+1}, S-x_{n_k}<\frac{1}{k}$ откуда $\lim\limits_{k \to \infty}x_{n_k} = S$

-- 18.04.2018, 14:53 --

provincialka в сообщении #1305267 писал(а):

неверно, вы пропустили один экзотический случай.

Имеется в виду последовательность, которая сходится но не достигает свою грань, которая будет пределом, который единственный.
$\left(\exists! A \lim\limits_{n \to \infty}x_n=A\right) \wedge \left(\forall x_n x_n \neq S \vee \forall x_n x_n \neq I\right) \Rightarrow A\neq I \vee A\neq S$

[provincialka]

А почему единственное число $A$ не может быть равно и $I$, и $M$? А если оно-таки равно им обоим?

(Оффтоп)

тогда они просто равны между собой. Случай тривиальный, но без него получается небольшая логическая дыра

[Ivan_B]

Нужно определить, существуют ли сходящиеся последовательности которые
1. Достигают обе грани - есть пример
2. Достигает одну грань - есть пример
3. Не достигают ни одной.
В случае не достижения верхней грани $I \leqslant x_n < S$
В случае не достижения нижней грани $I < x_n \leqslant S$
Отсюда $I \neq S$.

provincialka в сообщении #1305282 писал(а):

А почему единственное число $A$ не может быть равно и $I$, и $M$? А если оно-таки равно им обоим?

Если $I=M$, то последовательность их достигает. Для рассмотрения этого случая достаточно примера.

[provincialka]

Теперь все хорошо

[Ivan_B]

provincialka
Спасибо!

[Ivan_B]

Еще две задачи: найти наибольший член последовательности
1. $x_n=\frac{1000^n}{n!}$
2. $x_n=\frac{\sqrt{n}}{100+n}$
Задачи я как бы решил, но пределами не пользовался. Возможно я их решаю как-то не так. Как их нужно решать?
Мои решения:
1. Элементы положительны, поэтому последовательность возрастает, если $\frac{x_{n+1}}{x_n}>1$
$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{1000^{n+1}n!}{\left(n+1\right) ! 1000^n}=\frac{1000}{n}$
Откуда $n<1000$ т.е. $x_{999}<x_{1000}=x_{1001}>x_{1002}$
В ответах, кроме номера элемента, приводтся его приближенное значение. Нужно ли уметь его вычислять?

2. Делю числитель и знаменатель на $\sqrt{n}$, возвожу в квадрат, ищу минимум знаменателя
$\left(\frac{100}{\sqrt{n}}+\sqrt{n}\right)^2=\frac{10000}{n}+n+200$
последовательность возрастает если $x_{n+1}-x_n>0$
$\frac{10000}{n+1}+(n+1)+200-\frac{10000}{n}-n-200>0$
$1-\frac{10000}{n(n+1)}>0$
$n^2+n-10000>0$
$n>(-1+\sqrt{1+40000})/2 \approx 99.5$
Тогда в исходной последовательности: $x_{99}<x_{100}>x_{101}$
$x_{100}=\frac{1}{20}$

[eugensk]

Всё решаете правильно.

1. Перепроверьте, как упростили $\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{1000^{n+1}n!}{\left(n+1\right) ! 1000^n}=\frac{1000}{n}$

Вычислять приближенный ответ не нужно, числовое значения дано чтобы вы осознали,
что бесконечно малая последовательность может достигать очень больших значений.

2. Не проверил, но идея верная.

[provincialka]

В п.2 можно использовать производную по $n$, временно считая, что это не целое число, а произвольное вещественное (ну, положительное).

[Ivan_B]

eugensk в сообщении #1305814 писал(а):

1. Перепроверьте, как упростили $\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{1000^{n+1}n!}{\left(n+1\right) ! 1000^n}=\frac{1000}{n}$

$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{1000^{n+1}n!}{\left(n+1\right) ! 1000^n}=\frac{1000}{n+1}$
Тогда результат $n<999$ и $x_{998}<x_{999}=x_{1000}>x_{1001}$

eugensk в сообщении #1305814 писал(а):

2. Не проверил, но идея верная.

С ответом совпадает. Раз идея верная, буду считать, что и решение верное.

provincialka в сообщении #1305815 писал(а):

В п.2 можно использовать производную по $n$

Идею понял.

Для меня основным вопросом было то, как нужно решать задачи такого типа. Разобрался.
Спасибо за Ваши ответы.

[Ivan_B]

Построить пример числовой последовательности, для которой все члены данной числовой последовательности $\left\{a_n\right\}$ являются ее частичными пределами. Какие еще частичные пределы обязательно имеет построенная последовательность?

Последовательность: $a_1-1, a_1-\frac{1}{2}, a_2-\frac{1}{2}, a_1-\frac{1}{3}, a_2-\frac{1}{3}, a_3-\frac{1}{3}, a_1-\frac{1}{4}, a_2-\frac{1}{4}, a_3-\frac{1}{4}, a_4-\frac{1}{4}, \dots$

Ответ на вопрос: Никаких. (Пример исходной последовательности: $1, 2, 3, 4, \dots$)

Проверьте, пожалуйста. Сомнения вызывает последний вопрос.

[grizzly]

Ivan_B в сообщении #1306498 писал(а):

Никаких. (Пример исходной последовательности: $1, 2, 3, 4, \dots$)

Вас же не просили привести пример исходной последовательности? А если будет другой пример, ответ будет тот же? Если нет, то от чего он (ответ) зависит? Другими словами, Вас просят дать самый общий ответ, насколько возможно.