Проверка решения. Демидович, предел последовательности.

[eugensk]

Ivan_B в сообщении #1306498 писал(а):

Ответ на вопрос: Никаких. (Пример исходной последовательности: $1, 2, 3, 4, \dots$)

И даже для этого примера неверно. Базз Светик говорил "Бесконечность - не предел!", но мы-то знаем лучше.

[Ivan_B]

Вторая попытка:
Каждой подпоследовательности $\left\{x_{n_k}\right\}$ исходной последовательности можно поставить в соответствие подпоследовательность $x_{n_k}-\frac{1}{n_k}$ новой последовательности, которая будет иметь тот же предел, что и у исходной или будет расходиться, если исходная подпоследовательность расходится. Поэтому новая последовательность будет иметь те же пределы, которые были у исходной, но новых частичных пределов, кроме тех, которые нужно было добавить по заданию, не появится.

Запутался я как раз из-за этих новых частичных пределов. Очень большой соблазн был "решить" все задачи такого типа, предоставив в качестве ответа последовательность всех рациональных чисел, у которой есть любой нужный частичный предел.

Была бы засчитана на экзамене как правильный ответ моя вторая попытка?
Был бы засчитан ответ со всеми рациональными числами?

[eugensk]

Ivan_B в сообщении #1306587 писал(а):

Поэтому новая последовательность будет иметь те же пределы, которые были у исходной, но новых частичных пределов, кроме тех, которые нужно было добавить по заданию, не появится.

Это неаккуратно, смотрите, вы говорите о своём построении, или о задаче, которую решали?
Если первое, то придется доказать, что какая бы не была исходная последовательность, ваше построение новых предельных точек, кроме тех что были и самих элементов, не добавит;
если о задаче, то оно неверно (вы могли взять последовательность всех рациональных чисел, как собирались).
Но вас и не просят доказать что других пределов нет.

Цитата:

Какие еще частичные пределы обязательно имеет построенная последовательность?

В вопросе - какое бы построение вы не выбрали (откуда спрашивающему знать ваш способ?) оно обязательно и т.д.
Вы говорите существует такое построение (а именно, взять последовательность всех рациональных чисел), что и т.д.
Видите нестыковку?

[provincialka]

Интересно, в какой момент курса вводится понятие "замыкание"?... Все-таки самостоятельно догадаться трудно.

[Ivan_B]

eugensk в сообщении #1306588 писал(а):

Видите нестыковку?

Да.
Но мне кажется, что доказывать все равно нужно: частичные пределы сохраняются, но это не значит, что любое построение не привносит какие-нибудь еще частичные пределы, которые будут привнесены независимо от построения.

eugensk в сообщении #1306588 писал(а):

Это неаккуратно

Согласен, постараюсь исправиться. Далее говорю только о моем построении и исходной последовательности.

eugensk в сообщении #1306588 писал(а):

придется доказать, что какая бы не была исходная последовательность, ваше построение новых предельных точек, кроме тех что были и самих элементов, не добавит

Для любой подпоследовательности $\left\{x_{n_k}\right\}$ исходной последовательности можно выбрать подпоследовательность из новой последовательности, которая будет состоять из чисел $x_{n_k}-\frac{1}{n_k}$. Обе подпоследовательности имеют один и тот же предел. Это доказывает, что все частичные пределы исходной последовательности сохраняются.
Пусть теперь новая последовательность имеет частичный предел $A$, который не равен ни одному из ее элементов и не является частичным пределом исходной последовательности, тогда для некоторых элементов исходной последовательности выполняется $|x_n-\frac{1}{k}-A| < \frac{\varepsilon}{2}$, $k$ может быть произвольно большим, поскольку количество элементов с заданным значением $k$ конечно, а элементов с указанным свойством бесконечно много, тогда $-\frac{\varepsilon}{2}-\frac{\varepsilon}{2}<-\frac{\varepsilon}{2}-\frac{1}{k}<-\frac{\varepsilon}{2}+\frac{1}{k}<x_n-A<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{1}{k}<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}$
Тогда $|x_n-A|<\varepsilon$. Значит $A$ - предельная точка множества элементов исходной последовательности. Тогда в исходной последовательности существует подпоследовательность, которая сходится к $A$. Ее можно построить так: каждый следующий элемент выбирается по правилу $|A-x_{k_i}|<\frac{\min\limits_{1\leqslant j \leqslant k_{i-1}}|A-x_j|}{2}$. Элемент существует т.к. точка предельная. Его номер больше номеров предыдущих элементов в силу того, что каждая следующая окрестность не содержит точек с меньшими индексами, чем у текущего элемента. Размер окрестности каждый раз уменьшается минимум в два раза, поэтому последовательность будет сходиться. Значит $A$ - частичный предел исходной последовательности.

[eugensk]

Ivan_B в сообщении #1306659 писал(а):

Но мне кажется, что доказывать все равно нужно: частичные пределы сохраняются, но это не значит, что любое построение не привносит какие-нибудь еще частичные пределы, которые будут привнесены независимо от построения.

И правильно, я думал, достаточно указать какие-то пределы которые обязательно появятся, а на самом деле задача в том, чтобы указать все пределы, которые обязательно появятся.

Далее вы показали, что действительно нашли все пределы которые обязательно появятся (потому что других нет в случае вашего построения).
Надеюсь, уважаемые provincialka и grizzly посмотрят еще раз, но мне всё нравится.

ps Стёр глупость, которую было написал, там недочёта не было.

[grizzly]

Ivan_B
Вы построили решение в котором каждый элемент данной последовательности является предельной точкой множества значений новой и, следовательно, её частичным пределом. С решением я согласен, но вот такой вопрос: знаете ли Вы, что частичный предел последовательности -- не обязательно предельная точка множества значений этой последовательности? Если знаете, то зачем Вам нужно было тащить через всё решение эти дроби $\frac1k$? Если их изничтожить со всего решения, разве не получится то же, но проще и короче?

[Ivan_B]

grizzly в сообщении #1306680 писал(а):

знаете ли Вы, что частичный предел последовательности -- не обязательно предельная точка множества значений этой последовательности?

Теперь знаю.
Точка $p \in \mathbb R$ называется предельной точкой множества $X \subset \mathbb R$, если любая окрестность этой точки содержит бесконечное подмножество множества $X$.
Получается, частичный предел не является предельной точкой множества значений, если множество значений конечно. Это возможно только если последовательность финально постоянная.

grizzly в сообщении #1306680 писал(а):

Если знаете, то зачем Вам нужно было тащить через всё решение эти дроби $\frac1k$?

Тут ничего придумать не вышло...

[provincialka]

grizzly в сообщении #1306680 писал(а):

зачем Вам нужно было тащить через всё решение эти дроби $\frac1k$? Если их изничтожить со всего решения, разве не получится то же, но проще и короче?

Ivan_B в сообщении #1306799 писал(а):

Тут ничего придумать не вышло...

Лектор во время лекции писал(а):

Извините, я ошибся. Сотрите там у себя...

В общем, уберите эти добавки, и все...

[grizzly]

Ivan_B в сообщении #1306799 писал(а):

Тут ничего придумать не вышло...

Поскольку задача уже успешно решена, я лучше открытым текстом подскажу. Вот здесь вместо этого примера:

Ivan_B в сообщении #1306498 писал(а):

Последовательность: $a_1-1, a_1-\frac{1}{2}, a_2-\frac{1}{2}, a_1-\frac{1}{3}, a_2-\frac{1}{3}, a_3-\frac{1}{3}, a_1-\frac{1}{4}, a_2-\frac{1}{4}, a_3-\frac{1}{4}, a_4-\frac{1}{4}, \dots$

достаточно было привести такой:

$$a_1, a_1, a_2, a_1, a_2, a_3, a_1, a_2, a_3, a_4, \dots .$$

[Ivan_B]

grizzly в сообщении #1306812 писал(а):

$$a_1, a_1, a_2, a_1, a_2, a_3, a_1, a_2, a_3, a_4, \dots .$$

Очень красивое решение. Для меня это настоящее открытие! И хорошее настроение) Спасибо!

grizzly в сообщении #1306680 писал(а):

если их изничтожить со всего решения, разве не получится то же, но проще и короче?

provincialka в сообщении #1306803 писал(а):

В общем, уберите эти добавки, и все...

Спасибо за Ваши подсказки!

eugensk
Спасибо, за проверку моих попыток решить эту задачу!