Уравнения Гамильтона

[pogulyat_vyshel]

Пусть $M$ -- фазовое пространство гамильтоновой системы с гамильтонианом $H=H(x,p)$ , где $(x,p)\in\mathbb{R}^{2m}$ -- локальные канонические координаты на $M$.
Предположим, что некоторый неособый уровень энергии $\{H=h\}$ содержит два непересекающихся $2m-2$ мерных многообразия $N_1,N_2$ таких, что оба они трансверсальны гамильтонову векторному полю и поток уравнений Гамильтона устанавливает диффеоморфизм между этими многообразиями $T:N_1\to N_2$.
Доказать, что формы $\psi_k=(dx^i\wedge dp_i)\mid_{N_k}$ задают на многообразиях $N_1,N_2$ симплектическую структуру и $T_*\psi_2=\psi_1$

[DeBill]

Пусть $(M,\omega)$ -симплектическое многообразие, и $\Gamma$ -его гладкая гиперповерхность ("неособая линия уровня энергии"). На $\Gamma$ корректно определено характеристическое поле направлений - косоортогональных дополнений касательных к $\Gamma$ гиперплоскостей относительно с.с. ("гамильтоново поле"). Трансверсальность подмногообразия $N\subset M$ этому полю направлений означает невырожденность сужения с.с. на $N$ (замкнутость его очевидна).
Пусть $N_1,N_2$ - два таких трансверсальных подмногообразия, и пусть отображение сдвига вдоль фазовых кривых хар. поля направлений устанавливает диффеоморфизм $T$ одного на другое. Рассмотрим произвольную двумерную площадку $\sigma_1$ на $N_1$, и пусть $\sigma_2=T(\sigma_1)$, $C$ - цилиндр, состоящий из отрезков траекторий хар.поля с начальными точками из $\sigma_1$ и концами на $\sigma_2$. Его граница состоит из боковой поверхности и двух оснований, $\sigma_1$ и $\sigma_2$. Интеграл от формы $\omega$ по границе цилиндра $C$ равен нулю по формуле Стокса ($\omega$ - замкнута). Но форма $\omega$ зануляется на боковой поверхности цилиндра (ибо она двумерна, и касательная плоскость к ней содержит вектор, косоортогональный всем прочим). Поэтому интегралы по основаниям цилиндра (с учетом ориентации их) равны. В силу произвольности площадки $\sigma_1$, получим желаемое совпадение форм.

[pogulyat_vyshel]

Да, хотя с помощью гамильтоновой версии теоремы о выпрямлении векторного поля это наглядней