2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнения Гамильтона
Сообщение19.04.2018, 17:44 
Аватара пользователя


31/08/17
1461
Пусть $M$ -- фазовое пространство гамильтоновой системы с гамильтонианом $H=H(x,p)$ , где $(x,p)\in\mathbb{R}^{2m}$ -- локальные канонические координаты на $M$.
Предположим, что некоторый неособый уровень энергии $\{H=h\}$ содержит два непересекающихся $2m-2$ мерных многообразия $N_1,N_2$ таких, что оба они трансверсальны гамильтонову векторному полю и поток уравнений Гамильтона устанавливает диффеоморфизм между этими многообразиями $T:N_1\to N_2$.
Доказать, что формы $\psi_k=(dx^i\wedge dp_i)\mid_{N_k}$ задают на многообразиях $N_1,N_2$ симплектическую структуру и $T_*\psi_2=\psi_1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Гамильтона
Сообщение19.04.2018, 23:30 
Заслуженный участник


10/01/16
1925
Пусть $(M,\omega)$ -симплектическое многообразие, и $\Gamma$ -его гладкая гиперповерхность ("неособая линия уровня энергии"). На $\Gamma$ корректно определено характеристическое поле направлений - косоортогональных дополнений касательных к $\Gamma$ гиперплоскостей относительно с.с. ("гамильтоново поле"). Трансверсальность подмногообразия $N\subset M$ этому полю направлений означает невырожденность сужения с.с. на $N$ (замкнутость его очевидна).
Пусть $N_1,N_2$ - два таких трансверсальных подмногообразия, и пусть отображение сдвига вдоль фазовых кривых хар. поля направлений устанавливает диффеоморфизм $T$ одного на другое. Рассмотрим произвольную двумерную площадку $\sigma_1$ на $N_1$, и пусть $\sigma_2=T(\sigma_1)$, $C$ - цилиндр, состоящий из отрезков траекторий хар.поля с начальными точками из $\sigma_1$ и концами на $\sigma_2$. Его граница состоит из боковой поверхности и двух оснований, $\sigma_1$ и $\sigma_2$. Интеграл от формы $\omega$ по границе цилиндра $C$ равен нулю по формуле Стокса ($\omega$ - замкнута). Но форма $\omega$ зануляется на боковой поверхности цилиндра (ибо она двумерна, и касательная плоскость к ней содержит вектор, косоортогональный всем прочим). Поэтому интегралы по основаниям цилиндра (с учетом ориентации их) равны. В силу произвольности площадки $\sigma_1$, получим желаемое совпадение форм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Гамильтона
Сообщение20.04.2018, 09:13 
Аватара пользователя


31/08/17
1461
Да, хотя с помощью гамильтоновой версии теоремы о выпрямлении векторного поля это наглядней

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group