Задача на пределы с 2мя переменными.

[umarus]

1. Помогите пожалуйста с примером на пределы. Вероятно, надо использовать теорему о сжатии между 0 и 0.
$\[\mathop {\lim }\limits_{(x;y) \to (0;0)} \frac{{{x^3}y + 3{x^2}{y^2}}}{{{{({x^2} + {y^2})}^{3/2}}}}\]$


2. Решения данное в решебнике мне кажется неправильным, пожалуйста прокомментируйте так или не так (перевод):
Для достаточно больших $(x;y)$, а именно для $x\geqslant1$ и $y\geqslant1$, верно $\[{x^2}y \le \sqrt {{{({x^2} + {y^2})}^3}} \]$
Разве можно говорить про $x\geqslant1$ и $y\geqslant1$, если ${(x;y) \to (0;0)}$?

Оно целиком:
Для достаточно больших $(x;y)$, а именно для $x\geqslant1$ и $y\geqslant1$, верно $\[{x^2}y \le \sqrt {{{({x^2} + {y^2})}^3}} \]$, значит $\[\frac{{{x^2}y}}{{\sqrt {{{({x^2} + {y^2})}^3}} }} \le 1\]$.
$\[0 \le \left| {\frac{{{x^3}y + 3{x^2}{y^2}}}{{\sqrt {{{({x^2} + {y^2})}^3}} }}} \right| = \frac{{\left| {{x^2}y} \right|\left| {x + 3y} \right|}}{{\sqrt {{{({x^2} + {y^2})}^3}} }} = \frac{{\left| {{x^2}y} \right|}}{{\sqrt {{{({x^2} + {y^2})}^3}} }} \cdot \left| {x + 3y} \right| \le 1 \cdot \left| {x + 3y} \right|\] $

Спасибо за помощь

-- Ср апр 18, 2018 02:06:12 --

Похоже просто надо было на полярные переходить

[Otta]

umarus в сообщении #1305185 писал(а):

Похоже просто надо было на полярные переходить

Угу.

[umarus]

Что можете сказать про решение? Есть там проблема?

[kotenok gav]

umarus в сообщении #1305185 писал(а):

Разве можно говорить про $x\geqslant1$ и $y\geqslant1$, если ${(x;y) \to (0;0)}$?

Нельзя.

[thething]

umarus в сообщении #1305185 писал(а):

Для достаточно больших $(x;y)$,

А нас разве интересуют достаточно большие? В-общем, переходите к полярным, и не парьтесь

[Sicker]

umarus
а не проще ли приравнять y к x и искать от одной переменной? Или взять за константу одну переменную, найти предел по другой, а потом найти предел по оставшейся?

[umarus]

Sicker в сообщении #1305229 писал(а):

umarus
а не проще ли приравнять y к x и искать от одной переменной? Или взять за константу одну переменную, найти предел по другой, а потом найти предел по оставшейся?

1. Так как предел существует то нельзя приравнять.
2. Точно не знаю, но брать отдельно не самый правильный метод.

[kotenok gav]

umarus в сообщении #1305230 писал(а):

Так как предел существует то нельзя приравнять.

Почему? Вполне можно.

[Someone]

Sicker в сообщении #1305229 писал(а):

а не проще ли приравнять y к x и искать от одной переменной? Или взять за константу одну переменную, найти предел по другой, а потом найти предел по оставшейся?

Не давайте глупых советов. На простых примерах можно показать, что это не работает.

umarus, не слушайте его, он не разбирается. Насчёт "отдельно" есть теорема о том, что если двойной предел существует, то при определённых условиях повторные пределы тоже существуют и равны двойному, но обратной теоремы нет. Поэтому Вам повторные пределы не помогут. Частичные — тем более.

[DeBill]

Sicker в сообщении #1305229 писал(а):

а не проще ли приравнять y к x и искать от одной переменной?

Да конечно проще! Вот только сначала надо доказать, что он существует (ну, уже сказали как: полярные координаты, и т.д., видим, что предел есть (и равен нулю)). И вот теперь - приравниваем, находим: он таки равен нулю!

[Sicker]

DeBill в сообщении #1305235 писал(а):

Да конечно проще! Вот только сначала надо доказать, что он существует

Тогда можно доказать его существование так. Рассмотрим всевозможные пути к нулю в предельной точке, они различаются углом наклона к координатным осям. Тогда берем $y=kx$ и находим предел по $x$, и убеждаемся что он не зависит от $k$.
Если мой метод не работает, приведите контрпример.

[thething]

Sicker

Sicker в сообщении #1305237 писал(а):

Рассмотрим всевозможные пути к нулю в предельной точке, они различаются углом наклона к координатным осям

А Вы уверены, что это все возможные пути? А еще по параболе можно.. по арктангенсу...

[Sicker]

thething в сообщении #1305239 писал(а):

А Вы уверены, что это все возможные пути?

Не уверен, но в пределе они вроде так описываются, или нет?

-- 18.04.2018, 11:12 --

thething
Да, может быть бесконечная спираль)

-- 18.04.2018, 11:14 --

thething
Но все равно, если предел по моим путям существует, то он существует по всем.

[Someone]

Sicker в сообщении #1305237 писал(а):

Если мой метод не работает, приведите контрпример.

Не работает, но контрпример сразу не нашёл. Он немножко хитрый. "На пальцах" можно так: пусть функция между параболами $y=x^2$ и $y=2x^2$ равна $0$, а в остальной части плоскости — $1$. Тогда пределы в начале координат по всем прямым равны $1$, а двойной предел не существует.

[Sicker]

Someone

(Оффтоп)

Зачет