2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 00:50 


09/03/09
45
1. Помогите пожалуйста с примером на пределы. Вероятно, надо использовать теорему о сжатии между 0 и 0.
$\[\mathop {\lim }\limits_{(x;y) \to (0;0)} \frac{{{x^3}y + 3{x^2}{y^2}}}{{{{({x^2} + {y^2})}^{3/2}}}}\]$


2. Решения данное в решебнике мне кажется неправильным, пожалуйста прокомментируйте так или не так (перевод):
Для достаточно больших $(x;y)$, а именно для $x\geqslant1$ и $y\geqslant1$, верно $\[{x^2}y \le \sqrt {{{({x^2} + {y^2})}^3}} \]$
Разве можно говорить про $x\geqslant1$ и $y\geqslant1$, если ${(x;y) \to (0;0)}$?

Оно целиком:
Для достаточно больших $(x;y)$, а именно для $x\geqslant1$ и $y\geqslant1$, верно $\[{x^2}y \le \sqrt {{{({x^2} + {y^2})}^3}} \]$, значит $\[\frac{{{x^2}y}}{{\sqrt {{{({x^2} + {y^2})}^3}} }} \le 1\]$.
$\[0 \le \left| {\frac{{{x^3}y + 3{x^2}{y^2}}}{{\sqrt {{{({x^2} + {y^2})}^3}} }}} \right| = \frac{{\left| {{x^2}y} \right|\left| {x + 3y} \right|}}{{\sqrt {{{({x^2} + {y^2})}^3}} }} = \frac{{\left| {{x^2}y} \right|}}{{\sqrt {{{({x^2} + {y^2})}^3}} }} \cdot \left| {x + 3y} \right| \le 1 \cdot \left| {x + 3y} \right|\]
$

Спасибо за помощь

-- Ср апр 18, 2018 02:06:12 --

Похоже просто надо было на полярные переходить :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 01:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6909
umarus в сообщении #1305185 писал(а):
Похоже просто надо было на полярные переходить

Угу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 10:12 


09/03/09
45
Что можете сказать про решение? Есть там проблема?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 10:16 


21/05/16
1953
Аделаида
umarus в сообщении #1305185 писал(а):
Разве можно говорить про $x\geqslant1$ и $y\geqslant1$, если ${(x;y) \to (0;0)}$?

Нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 10:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
885
Антарктика
umarus в сообщении #1305185 писал(а):
Для достаточно больших $(x;y)$,

А нас разве интересуют достаточно большие? В-общем, переходите к полярным, и не парьтесь

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 10:33 
Аватара пользователя


13/08/13
3152
umarus
а не проще ли приравнять y к x и искать от одной переменной? Или взять за константу одну переменную, найти предел по другой, а потом найти предел по оставшейся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 10:42 


09/03/09
45
Sicker в сообщении #1305229 писал(а):
umarus
а не проще ли приравнять y к x и искать от одной переменной? Или взять за константу одну переменную, найти предел по другой, а потом найти предел по оставшейся?

1. Так как предел существует то нельзя приравнять.
2. Точно не знаю, но брать отдельно не самый правильный метод.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 10:48 


21/05/16
1953
Аделаида
umarus в сообщении #1305230 писал(а):
Так как предел существует то нельзя приравнять.

Почему? Вполне можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 10:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16001
Новомосковск
Sicker в сообщении #1305229 писал(а):
а не проще ли приравнять y к x и искать от одной переменной? Или взять за константу одну переменную, найти предел по другой, а потом найти предел по оставшейся?
Не давайте глупых советов. На простых примерах можно показать, что это не работает.

umarus, не слушайте его, он не разбирается. Насчёт "отдельно" есть теорема о том, что если двойной предел существует, то при определённых условиях повторные пределы тоже существуют и равны двойному, но обратной теоремы нет. Поэтому Вам повторные пределы не помогут. Частичные — тем более.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 10:56 
Заслуженный участник


10/01/16
1739
Sicker в сообщении #1305229 писал(а):
а не проще ли приравнять y к x и искать от одной переменной?

Да конечно проще! Вот только сначала надо доказать, что он существует (ну, уже сказали как: полярные координаты, и т.д., видим, что предел есть (и равен нулю)). И вот теперь - приравниваем, находим: он таки равен нулю!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 11:05 
Аватара пользователя


13/08/13
3152
DeBill в сообщении #1305235 писал(а):
Да конечно проще! Вот только сначала надо доказать, что он существует

Тогда можно доказать его существование так. Рассмотрим всевозможные пути к нулю в предельной точке, они различаются углом наклона к координатным осям. Тогда берем $y=kx$ и находим предел по $x$, и убеждаемся что он не зависит от $k$.
Если мой метод не работает, приведите контрпример.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 11:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
885
Антарктика
Sicker
Sicker в сообщении #1305237 писал(а):
Рассмотрим всевозможные пути к нулю в предельной точке, они различаются углом наклона к координатным осям

А Вы уверены, что это все возможные пути? А еще по параболе можно.. по арктангенсу...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 11:11 
Аватара пользователя


13/08/13
3152
thething в сообщении #1305239 писал(а):
А Вы уверены, что это все возможные пути?

Не уверен, но в пределе они вроде так описываются, или нет?

-- 18.04.2018, 11:12 --

thething
Да, может быть бесконечная спираль)

-- 18.04.2018, 11:14 --

thething
Но все равно, если предел по моим путям существует, то он существует по всем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 11:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16001
Новомосковск
Sicker в сообщении #1305237 писал(а):
Если мой метод не работает, приведите контрпример.
Не работает, но контрпример сразу не нашёл. Он немножко хитрый. "На пальцах" можно так: пусть функция между параболами $y=x^2$ и $y=2x^2$ равна $0$, а в остальной части плоскости — $1$. Тогда пределы в начале координат по всем прямым равны $1$, а двойной предел не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 11:22 
Аватара пользователя


13/08/13
3152
Someone

(Оффтоп)

Зачет :mrgreen:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Student2018


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group