2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 00:50 


09/03/09
36
1. Помогите пожалуйста с примером на пределы. Вероятно, надо использовать теорему о сжатии между 0 и 0.
$\[\mathop {\lim }\limits_{(x;y) \to (0;0)} \frac{{{x^3}y + 3{x^2}{y^2}}}{{{{({x^2} + {y^2})}^{3/2}}}}\]$


2. Решения данное в решебнике мне кажется неправильным, пожалуйста прокомментируйте так или не так (перевод):
Для достаточно больших $(x;y)$, а именно для $x\geqslant1$ и $y\geqslant1$, верно $\[{x^2}y \le \sqrt {{{({x^2} + {y^2})}^3}} \]$
Разве можно говорить про $x\geqslant1$ и $y\geqslant1$, если ${(x;y) \to (0;0)}$?

Оно целиком:
Для достаточно больших $(x;y)$, а именно для $x\geqslant1$ и $y\geqslant1$, верно $\[{x^2}y \le \sqrt {{{({x^2} + {y^2})}^3}} \]$, значит $\[\frac{{{x^2}y}}{{\sqrt {{{({x^2} + {y^2})}^3}} }} \le 1\]$.
$\[0 \le \left| {\frac{{{x^3}y + 3{x^2}{y^2}}}{{\sqrt {{{({x^2} + {y^2})}^3}} }}} \right| = \frac{{\left| {{x^2}y} \right|\left| {x + 3y} \right|}}{{\sqrt {{{({x^2} + {y^2})}^3}} }} = \frac{{\left| {{x^2}y} \right|}}{{\sqrt {{{({x^2} + {y^2})}^3}} }} \cdot \left| {x + 3y} \right| \le 1 \cdot \left| {x + 3y} \right|\]
$

Спасибо за помощь

-- Ср апр 18, 2018 02:06:12 --

Похоже просто надо было на полярные переходить :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 01:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6512
umarus в сообщении #1305185 писал(а):
Похоже просто надо было на полярные переходить

Угу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 10:12 


09/03/09
36
Что можете сказать про решение? Есть там проблема?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 10:16 


21/05/16
1299
Аделаида
umarus в сообщении #1305185 писал(а):
Разве можно говорить про $x\geqslant1$ и $y\geqslant1$, если ${(x;y) \to (0;0)}$?

Нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 10:17 
Аватара пользователя


27/12/17
435
umarus в сообщении #1305185 писал(а):
Для достаточно больших $(x;y)$,

А нас разве интересуют достаточно большие? В-общем, переходите к полярным, и не парьтесь

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 10:33 
Аватара пользователя


13/08/13
2976
umarus
а не проще ли приравнять y к x и искать от одной переменной? Или взять за константу одну переменную, найти предел по другой, а потом найти предел по оставшейся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 10:42 


09/03/09
36
Sicker в сообщении #1305229 писал(а):
umarus
а не проще ли приравнять y к x и искать от одной переменной? Или взять за константу одну переменную, найти предел по другой, а потом найти предел по оставшейся?

1. Так как предел существует то нельзя приравнять.
2. Точно не знаю, но брать отдельно не самый правильный метод.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 10:48 


21/05/16
1299
Аделаида
umarus в сообщении #1305230 писал(а):
Так как предел существует то нельзя приравнять.

Почему? Вполне можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 10:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15384
Новомосковск
Sicker в сообщении #1305229 писал(а):
а не проще ли приравнять y к x и искать от одной переменной? Или взять за константу одну переменную, найти предел по другой, а потом найти предел по оставшейся?
Не давайте глупых советов. На простых примерах можно показать, что это не работает.

umarus, не слушайте его, он не разбирается. Насчёт "отдельно" есть теорема о том, что если двойной предел существует, то при определённых условиях повторные пределы тоже существуют и равны двойному, но обратной теоремы нет. Поэтому Вам повторные пределы не помогут. Частичные — тем более.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 10:56 
Заслуженный участник


10/01/16
1581
Sicker в сообщении #1305229 писал(а):
а не проще ли приравнять y к x и искать от одной переменной?

Да конечно проще! Вот только сначала надо доказать, что он существует (ну, уже сказали как: полярные координаты, и т.д., видим, что предел есть (и равен нулю)). И вот теперь - приравниваем, находим: он таки равен нулю!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 11:05 
Аватара пользователя


13/08/13
2976
DeBill в сообщении #1305235 писал(а):
Да конечно проще! Вот только сначала надо доказать, что он существует

Тогда можно доказать его существование так. Рассмотрим всевозможные пути к нулю в предельной точке, они различаются углом наклона к координатным осям. Тогда берем $y=kx$ и находим предел по $x$, и убеждаемся что он не зависит от $k$.
Если мой метод не работает, приведите контрпример.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 11:10 
Аватара пользователя


27/12/17
435
Sicker
Sicker в сообщении #1305237 писал(а):
Рассмотрим всевозможные пути к нулю в предельной точке, они различаются углом наклона к координатным осям

А Вы уверены, что это все возможные пути? А еще по параболе можно.. по арктангенсу...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 11:11 
Аватара пользователя


13/08/13
2976
thething в сообщении #1305239 писал(а):
А Вы уверены, что это все возможные пути?

Не уверен, но в пределе они вроде так описываются, или нет?

-- 18.04.2018, 11:12 --

thething
Да, может быть бесконечная спираль)

-- 18.04.2018, 11:14 --

thething
Но все равно, если предел по моим путям существует, то он существует по всем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 11:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15384
Новомосковск
Sicker в сообщении #1305237 писал(а):
Если мой метод не работает, приведите контрпример.
Не работает, но контрпример сразу не нашёл. Он немножко хитрый. "На пальцах" можно так: пусть функция между параболами $y=x^2$ и $y=2x^2$ равна $0$, а в остальной части плоскости — $1$. Тогда пределы в начале координат по всем прямым равны $1$, а двойной предел не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на пределы с 2мя переменными.
Сообщение18.04.2018, 11:22 
Аватара пользователя


13/08/13
2976
Someone

(Оффтоп)

Зачет :mrgreen:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group