Уравнение в ЦНЧ, 17042018

[mihaild]

При $k \leqslant 6000$ других решений нет.

[EUgeneUS]

Ktina в сообщении #1305173 писал(а):

Но ведь при $k=3$ есть решение!

$k=3$ ($i=1$) - это выделенное значение.

$n$ - обязательно нечетное, тогда $n=2m+1$, и можно переписать так:

$14(7^{2i}2^{2i} - 4) = 4(m(m+1)-30) = 4((m-1)(m+2)-28)$
$14(7^{2i}2^{2(i-1)} - 1) = ((m-1)(m+2)-28)$
$14(7^{2i}2^{2(i-1)} + 1) = (m-1)(m+2)$

При i>1 скобка слева не делится ни на 2, ни на 7. При i=1 эта скобка делится на 2.

Конечно, это никакое не доказательство, просто некоторые мысли по поводу...

-- 18.04.2018, 07:28 --

а еще скобка слева обязательно делится на 5.

[Shadow]

Для нечетных $k$ можно доказать с помощью уравнения Пелля $x^2-14y^2=65$

Решениями является рекуррентные последовательности $a_n=30a_{n-1}-a_{n-2}$. И целые четыре серии с первыми членами (для $y_n$):

$\\2,74\\ 4,128\\ 8,244\\ 14,422 $

Первая и последняя не подходят к степеням $14$, (кроме первой) по модулю 4 - они не делятся на 4.
Вторая и третяя - по модулю 15

$14^n\equiv \pm 1 \pmod {15}$

$y_n\equiv \{8,4,7,11\} \pmod {15}$

Очень головоломная головоломка.

[Ktina]

Shadow
Большое спасибо!