Две задачи на данную тему.
1)

- компакт в

.

- не связно.

- это

ограниченные компоненты дополнения.

. Нужно показать, что функцию

нельзя на

приблизить комплексными многочленами.
2)

- внутренность единичного круга.

голоморфна в

и непрерывна на

. Доказать, что существует такая последовательность многочленов

, что

на

равномерно при

. Также доказать это для ограниченной области

, которая звездообразна относительно

.
Аналитического продолжения перед этими задачами ещё не было.
По поводу 1. Есть путь, который я не могу довести до конца. Такой:
Из условия следует, что в нашем компакте существует замкнутая кривая

, внутри которой находится

. Если

равномерно приближается полиномами, то существует последовательность полиномов

, которая равномерно сходится к

на

. По критерию Коши

. По принципу максимума модуля эти неравенства верны

(

- область, ограниченная

). Опять же, по критерию Коши последовательность

равномерно сходится в

. По теореме Вейерштрасса

- это функция, голоморфная в

. А на

данный предел совпадает с

. И вот дальше я не знаю что делать. Хочется получить какое-то свойство

, которое не выполняется в точке

. Можно ли это решение довести как-то до конца? Или по-другому совсем надо?
2. В

ведь работает теорема Рунге? Или нет? В круге я вообще могу в ряд Тейлора разложить. И мне надо показать, что этот ряд сходится на границе. Или не так всё?