Интеграл от синуса - надежда на спецфункции

[Pumpov]

Доброго времени суток!

Встретился по научной работе интеграл $\int\sin(\sqrt{a^2-x^2})dx$.
Кто-нибудь может узнать в нём какую-нибудь спецфункцию, если есть такая в ходу?
Вопрос возник при двойном определенном интегрировании синуса или косинуса по кругу.

[dsge]

Вольфрам находит в виде интегралов Френеля.

[Red_Herring]

Pumpov в сообщении #1304495 писал(а):

Вопрос возник при двойном определенном интегрировании синуса или косинуса по кругу.

Так напишите этот самый определенный двойной интеграл.

[Pumpov]

dsge в сообщении #1304498 писал(а):

Вольфрам находит в виде интегралов Френеля.

А не могли бы Вы точно написать, что Вольфрам выдает? 8-я версия, к примеру, ничего не может ответить.

Red_Herring в сообщении #1304513 писал(а):

Так напишите этот самый определенный двойной интеграл.

С небольшими упрощениями так:

$ \int\limits_{x_1-R}^{x_1+R}dx\int\limits_{y_1-\sqrt{R^2-(x-x_1)^2}}^{y_1+\sqrt{R^2-(x-x_1)^2}}\cos (y)dy $
И ещё так:
$ \int\limits_{x_1-R}^{x_1+R}dx\int\limits_{y_1-\sqrt{R^2-(x-x_1)^2}}^{y_1+\sqrt{R^2-(x-x_1)^2}}\sin (y)dy $

В добавок, вместо простых функций - гиперболические аналоги, также.

[Markiyan Hirnyk]

Математика 11.3 находит этот двойной интеграл через функцию Бесселя. Если вас интересуют ответ и код, пожалуйста, переспросите это в форуме "Околонаучный софт" (желательно в течение часа, т.к. по моему местному времени поздний вечер), дабы избежать здесь ненужных трений.

_________________

GAA:

см. post1304634.html#p1304634

[dsge]

Pumpov в сообщении #1304522 писал(а):

А не могли бы Вы точно написать, что Вольфрам выдает?

Извините, ошибся при наборе интеграла.

[Otta]

Pumpov
Если интересует именно аналитическое решение - верните все "взад", напишите вместо повторного интеграла кратный, перейдите к полярным (смещенным) координатам, и после совсем недолгих плясок получится нечто умноженное на функцию Бесселя, да.

-- 16.04.2018, 00:56 --

В случае с гиперболическими функциями ожидаемо попрут модифицированные функции Бесселя.

[Markiyan Hirnyk]

Otta

Цитата:

В случае с гиперболическими функциями ожидаемо попрут модифицированные функции Бесселя.

Математика 11.3 пасует при нахождении двойных интегралов от $\cosh(y)$ и $\sinh(y)$ по тому же кругу.

[Otta]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1304638 писал(а):

Математика 11.3 пасует

Дык это ее проблемы.

[Pumpov]

Otta в сообщении #1304539 писал(а):

Pumpov
Если интересует именно аналитическое решение - верните все "взад", напишите вместо повторного интеграла кратный, перейдите к полярным (смещенным) координатам, и после совсем недолгих плясок получится нечто умноженное на функцию Бесселя, да.

-- 16.04.2018, 00:56 --

В случае с гиперболическими функциями ожидаемо попрут модифицированные функции Бесселя.

$ $$\iint\limits_{Circ}^{}\cos(y)dxdy = \iint\limits_{Rect}^{}\cos(r\sin\varphi)rdrd\varphi = \int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{R}\cos(r\sin\varphi)rdr = ... $
Далее интегрирование по частям, синус идёт в знаменатель, образуются три интеграла, два из которых малообещающие.

Например,

$ \int\limits_{0}^{2\pi}\frac{R\sin(R\sin\varphi)}{\sin\varphi}d\varphi $
.

[Pumpov]

По предложению Markiyan Hirnyk,

"Математика 11.3 находит этот двойной интеграл через функцию Бесселя. Если вас интересуют ответ и код, пожалуйста, переспросите это в форуме "Околонаучный софт" (желательно в течение часа, т.к. по моему местному времени поздний вечер), дабы избежать здесь ненужных трений."

прошу помочь с точным вычислением по спецфункциям, если оно существует:


$ \int\limits_{-R}^{R}dx\int\limits_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}}\cos (y)dy = ? $

$ \int\limits_{-R}^{R}dx\int\limits_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}}\sin (y)dy = ? $

$ \int\limits_{-R}^{R}dx\int\limits_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}}\cosh (y)dy = ? $

$ \int\limits_{-R}^{R}dx\int\limits_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}}\sinh (y)dy = ? $

[Markiyan Hirnyk]

Pumpov
Интегрировать по частям нецелесообразно. Поменяйте порядок интегрирования и примените интегральное представление функции Бесселя.

[Markiyan Hirnyk]

Вот два результаты

 Integrate[Sin[y], {x, y} \[Element] Disk[{x1, y1}, R],  Assumptions -> x1 \[Element] Reals && y1 \[Element] Reals && R > 0]

$2 \pi R \operatorname{BesselJ}_1(R) \sin (\text{y1})$

Integrate[Cos[y], {x, y} \[Element] Disk[{x1, y1}, R],  Assumptions -> x1 \[Element] Reals && y1 \[Element] Reals && R > 0]

$2 \pi R \operatorname{BesselJ}_1(R) \cos (\text{y1})$

Математика не находит два остальные интегралы.

[Pumpov]

Markiyan Hirnyk

Спасибо. Не ожидал, что так просто.
Если с гиперболическими функциями, то, я так понимаю, через мнимую единицу их можно заменить через тригонометрические, и получить результат?

[Pumpov]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1304754 писал(а):

Pumpov
Интегрировать по частям нецелесообразно. Поменяйте порядок интегрирования и примените интегральное представление функции Бесселя.

Да, спасибо, разобрался.

__________________

GAA:

Не нужно создавать несколько веток (топиков) на одну тему. Ветки соединены.

Если Вас интересует именно полученный при помощи какого-нибудь программного продукта ответ (и это не стандартная учебная задача), то создавайте, пожалуйста, тему в «Околонаучном софте». Или, в крайнем случае, предложите модераторам (при помощи механизма жалоб) перенести ветку в «Околонаучный софт», если случайно создали не там.

Если Вас интересует способ нахождения интеграла без применения программных продуктов, то создавайте тему в разделе «Математика»: в корне — если это сложная прикладная или нерешенная (на Ваш взгляд) задача; в «ПРР (М)» — если это учебная задача.

Если хочется сверить полученный «вручную» ответ с ответом пакета, то просите привести и приводите в теме, где идёт обсуждение, не создавая новых тем.

Возможны промежуточные варианты. В этом случае модератор может перенести ветку по своему усмотрению или после согласования с другими модераторами раздела.