экспонента от матрицы

[IrinaZub]

Здравствуйте!

Помогите найти экспоненту от матрицы

$$A=\left(\begin{array}{cccc} 0 & t & 0 & 0 \\ t & 0 & 0 & a\cdot t \\ 0 & 0 &0 & -b\cdot t \\ 0 & -a\cdot t & b\cdot t & 0 \end{array}\right).$$

Знаю, что ее характеристический многочлен равен

$$P(\lambda)=\mid A-\lambda E\mid=\lambda^4-\lambda^2t^2(a^2+c^2-1)-c^2t^4.$$

Тогда по теореме Гамильтона-Кэли

$$A^4=A^2t^2(a^2+c^2-1)+c^2t^4.$$

Но как это использовать для нахождения $\exp(A)$?

[Dan B-Yallay]

IrinaZub в сообщении #1304404 писал(а):

Но как это использовать для нахождения $\exp(A)$?

Это значит, что экспонента матрицы -- это просто многочлен степени не выше 3. Надо теперь аккуратно посчитать коэффициенты этого многочлена.

[IrinaZub]

Спасибо за ответ. Вы имеете в виду, что

$$\exp(A)=x_0A^3+x_1A^2+x_2A+x_3 E?$$

А каким способом можно найти коэффициенты $x_i$, $i=0,1,2,3$?

[Dan B-Yallay]

Выпишите определение экспоненты от матрицы и воспользуйтесь для степеней 4 и выше:

IrinaZub в сообщении #1304404 писал(а):

Тогда по теореме Гамильтона-Кэли

$$A^4=A^2t^2(a^2+c^2-1)+c^2t^4.$$

Затем собирайте коэффициенты при одинаковых степенях.

[Markiyan Hirnyk]

Мэйпл производит очень громоздкие выражения для элементов матрицы $\exp(A).$

[Lia]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1304426 писал(а):

Мэйпл производит очень громоздкие выражения для элементов матрицы $\exp(A).$

Вот и положите его на место. Вроде незачем.

IrinaZub
У Вас нет ли ошибки в знаке в одной из двух первых строк?

[Markiyan Hirnyk]

IrinaZub
Замечу, что ваше выражение
для характеристического многочлена содержит параметр $c$, который отсутствует в матрице $A$. Впрочем, если $c$ заменить на $b$, то характеристический многочлен найден верно.

[Red_Herring]

IrinaZub
Если я правильно понимаю, то $t$ это числовой параметр. Ну и тогда (Вольфрам-альфа есть--ума не надо )
https://www.wolframalpha.com/input/?i=exp(%7B%7B0,1,0,0%7D,%7B1,0,0,a%7D,%7B0,0,0,-b%7D,%7B0,-a,b,0%7D%7Dt)

И к тому же, если ей (Вольфрам-альфе) верить, то вы не вполне правильно посчитали характеристический полином
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B0,1,0,0%7D,%7B1,0,0,a%7D,%7B0,0,0,-b%7D,%7B0,-a,b,0%7D%7D

[Lia]

Red_Herring, вот и Вы туда же

[Red_Herring]

Lia в сообщении #1304441 писал(а):

Red_Herring, вот и Вы туда же

Еще про коня с копытом и омаре с клешней вспомните.
Кстати, вольфрамка советует найти $A^2$, и сразу много чего прояснится

Вообще вольфрамка штука наиполезнейшая для самопроверки

[Lia]

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1304446 писал(а):

Еще про коня с копытом и омаре с клешней вспомните.

Обижаете. Поползу вслед за конем, че отсвечивать.

[Markiyan Hirnyk]

Red_Herring

Цитата:

И к тому же, если ей (Вольфрам-альфе) верить, то вы не вполне правильно посчитали характеристический полином

Вы рассматриваете матрицу без множителя $t$.

[Red_Herring]

(Оффтоп)

Lia в сообщении #1304451 писал(а):

Обижаете. Поползу вслед за конем, че отсвечивать.

Позор на мою седую (зато не лысую) голову Не, я себя имел в виду. Не обижайтесь, жисть моя нисчастная--мне одну задачу, но в 450 работах проверить надо, потом за всех бабки подбить на экзамене, затем оценки электронно подать, вот сейчас я отправляюсь за этими работами, а на улице снег! В апреле!! На широте Ниццы!!!

-- 15.04.2018, 10:05 --

Markiyan Hirnyk в сообщении #1304453 писал(а):

Вы рассматриваете матрицу без множителя $t$.

А что, он невыносимый?

[Markiyan Hirnyk]

Red_Herring
Рассмотрите, например, единичную матрицу порядка 2 (на главной диагонали единицы, остальные элементы - нули) и единичную матрицу, умноженную на $t$. Их характеристические многочлены разные.

[IrinaZub]

Спасибо всем.
Отвечаю на вопросы и комментарии.
Ошибки в знаке элементов матрицы $A$ нет.
Да, в формуле для характеристического многочлена матрицы $A$ нужно заменить $c$ на $b$.
Я пыталась использовать Wolfram Mathematica, чтобы вычислить $\exp(A)$, но пока ничего путного не получилось (но я в этой программе пока плохо ориентируюсь).

Dan B-Yallay
Я пыталась расписать $\exp(A)$ через ряд

$$\exp(A)=E+A+A^2/2!+A^3/3!+...$$

и потом подставить туда
$A^4=A^2t^2(a^2+b^2-1)+b^2t^4$, $A^5=A^3t^2(a^2+b^2-1)+b^2t^4A$ и т.д., а затем привести подобные (найти коэффициенты при $A$, $A^2$, $A^3$ и $E$).
До конца так и не довела вычисления, слишком громоздко получается.
Поэтому и стала думать, может, есть какой-то другой способ вычислить $\exp(A)$?