2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 экспонента от матрицы
Сообщение15.04.2018, 15:39 


15/12/15
48
Здравствуйте!

Помогите найти экспоненту от матрицы
$$A=\left(\begin{array}{cccc}
0 & t & 0 & 0  \\
t & 0 & 0 & a\cdot t \\
0 &  0 &0 & -b\cdot t \\
0 & -a\cdot t  & b\cdot t  & 0
\end{array}\right).$$

Знаю, что ее характеристический многочлен равен
$$P(\lambda)=\mid A-\lambda E\mid=\lambda^4-\lambda^2t^2(a^2+c^2-1)-c^2t^4.$$
Тогда по теореме Гамильтона-Кэли
$$A^4=A^2t^2(a^2+c^2-1)+c^2t^4.$$
Но как это использовать для нахождения $\exp(A)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение15.04.2018, 16:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
IrinaZub в сообщении #1304404 писал(а):
Но как это использовать для нахождения $\exp(A)$?

Это значит, что экспонента матрицы -- это просто многочлен степени не выше 3. Надо теперь аккуратно посчитать коэффициенты этого многочлена.

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение15.04.2018, 16:17 


15/12/15
48
Спасибо за ответ. Вы имеете в виду, что
$$\exp(A)=x_0A^3+x_1A^2+x_2A+x_3 E?$$

А каким способом можно найти коэффициенты $x_i$, $i=0,1,2,3$?

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение15.04.2018, 16:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Выпишите определение экспоненты от матрицы и воспользуйтесь для степеней 4 и выше:

IrinaZub в сообщении #1304404 писал(а):
Тогда по теореме Гамильтона-Кэли
$$A^4=A^2t^2(a^2+c^2-1)+c^2t^4.$$


Затем собирайте коэффициенты при одинаковых степенях.

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение15.04.2018, 16:48 


11/07/16
801
Мэйпл производит очень громоздкие выражения для элементов матрицы $\exp(A).$

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение15.04.2018, 16:52 


20/03/14
12041
Markiyan Hirnyk в сообщении #1304426 писал(а):
Мэйпл производит очень громоздкие выражения для элементов матрицы $\exp(A).$

Вот и положите его на место. Вроде незачем.

IrinaZub
У Вас нет ли ошибки в знаке в одной из двух первых строк?

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение15.04.2018, 17:03 


11/07/16
801
IrinaZub
Замечу, что ваше выражение
для характеристического многочлена содержит параметр $c$, который отсутствует в матрице $A$. Впрочем, если $c$ заменить на $b$, то характеристический многочлен найден верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение15.04.2018, 17:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
IrinaZub
Если я правильно понимаю, то $t$ это числовой параметр. Ну и тогда (Вольфрам-альфа есть--ума не надо :D)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=exp(%7B%7B0,1,0,0%7D,%7B1,0,0,a%7D,%7B0,0,0,-b%7D,%7B0,-a,b,0%7D%7Dt)

И к тому же, если ей (Вольфрам-альфе) верить, то вы не вполне правильно посчитали характеристический полином
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B0,1,0,0%7D,%7B1,0,0,a%7D,%7B0,0,0,-b%7D,%7B0,-a,b,0%7D%7D

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение15.04.2018, 17:25 


20/03/14
12041
Red_Herring, вот и Вы туда же :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение15.04.2018, 17:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Lia в сообщении #1304441 писал(а):
Red_Herring, вот и Вы туда же :mrgreen:
Еще про коня с копытом и омаре с клешней вспомните.
Кстати, вольфрамка советует найти $A^2$, и сразу много чего прояснится

Вообще вольфрамка штука наиполезнейшая для самопроверки

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение15.04.2018, 17:51 


20/03/14
12041

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1304446 писал(а):
Еще про коня с копытом и омаре с клешней вспомните.

Обижаете. :cry: Поползу вслед за конем, че отсвечивать.

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение15.04.2018, 17:55 


11/07/16
801
Red_Herring
Цитата:
И к тому же, если ей (Вольфрам-альфе) верить, то вы не вполне правильно посчитали характеристический полином
Вы рассматриваете матрицу без множителя $t$.

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение15.04.2018, 18:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown

(Оффтоп)

Lia в сообщении #1304451 писал(а):
Обижаете. :cry: Поползу вслед за конем, че отсвечивать.
Позор на мою седую (зато не лысую) голову :facepalm: :oops: Не, я себя имел в виду. Не обижайтесь, жисть моя нисчастная--мне одну задачу, но в 450 работах проверить надо, потом за всех бабки подбить на экзамене, затем оценки электронно подать, вот сейчас я отправляюсь за этими работами, а на улице снег! В апреле!! На широте Ниццы!!!


-- 15.04.2018, 10:05 --

Markiyan Hirnyk в сообщении #1304453 писал(а):
Вы рассматриваете матрицу без множителя $t$.
А что, он невыносимый?

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение15.04.2018, 18:17 


11/07/16
801
Red_Herring
Рассмотрите, например, единичную матрицу порядка 2 (на главной диагонали единицы, остальные элементы - нули) и единичную матрицу, умноженную на $t$. Их характеристические многочлены разные.

 Профиль  
                  
 
 Re: экспонента от матрицы
Сообщение15.04.2018, 19:22 


15/12/15
48
Спасибо всем.
Отвечаю на вопросы и комментарии.
Ошибки в знаке элементов матрицы $A$ нет.
Да, в формуле для характеристического многочлена матрицы $A$ нужно заменить $c$ на $b$.
Я пыталась использовать Wolfram Mathematica, чтобы вычислить $\exp(A)$, но пока ничего путного не получилось (но я в этой программе пока плохо ориентируюсь).

Dan B-Yallay
Я пыталась расписать $\exp(A)$ через ряд
$$\exp(A)=E+A+A^2/2!+A^3/3!+...$$
и потом подставить туда
$A^4=A^2t^2(a^2+b^2-1)+b^2t^4$, $A^5=A^3t^2(a^2+b^2-1)+b^2t^4A$ и т.д., а затем привести подобные (найти коэффициенты при $A$, $A^2$, $A^3$ и $E$).
До конца так и не довела вычисления, слишком громоздко получается.
Поэтому и стала думать, может, есть какой-то другой способ вычислить $\exp(A)$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gg322


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group