Делить отрезок на три

[Побережный Александр]

Как разделить заданный отрезок на три равные части, используя ТОЛЬКО циркуль и линейку?

[slavav]

Это учебная задача.
Основная идея: пусть у вас уже есть один отрезок делённый на три части. С его помощью можно разделить на три части любой другой отрезок.

[grizzly]

Побережный Александр в сообщении #1304112 писал(а):

используя ТОЛЬКО циркуль и линейку?

Я думаю, что под словом "ТОЛЬКО" имелось в виду "не используя (так или иначе) теорему Фалеса". Типа как здесь в последнем сообщении.

[slavav]

Можно без использования теоремы Фалеса напрямую: предварительно разбитый отрезок поворачиваем на прямую параллельную разбиваемому отрезку. Строим подобные треугольники.

[Побережный Александр]

grizzly в сообщении #1304128 писал(а):

Побережный Александр в сообщении #1304112 писал(а):

используя ТОЛЬКО циркуль и линейку?

Я думаю, что под словом "ТОЛЬКО" имелось в виду "не используя (так или иначе) теорему Фалеса". Типа как здесь в последнем сообщении.

Совершенно верно, я не использовал теорему Фалеса. Первоначально ставилась задача делить на три равные части диагональ параллелограмма. Но мне показалось, что здесь будет явная подсказка.

[wrest]

Недавно было «Деление диагонали на три равные части (геома)»

[gris]

А мне тогда ещё мысль пришла использовать свойство точки пересечения медиан. Если уж так приспичило, то можно отрезок достроить до треугольника, в котором он будет медианой, и провести вторую медиану. В параллелограме можно вторую диагональ провести. Но это всё, конечно, дурацкие забавы.

[grizzly]

gris в сообщении #1304172 писал(а):

А мне тогда ещё мысль пришла использовать свойство точки пересечения медиан.

А вот как раз в упомянутой выше теме было и через медианы решение.

[gris]

Да, там помню. Я тоже пытался что-то такое построить, но не успел Просто про медиану уж так в голове засело с юных лет. А можно же еще биссектрисой отрезок поделить: пристроить треугольник с соответствующими сторонами и провести её.
А вот ещё решение, только с песком. Берём отрезок, ставим его посередине жестяной цилиндрической банки и осторожно насыпаем песок в виде конуса с основанием в дно банки и высотой в отрезок. А после аккуратно трясём банку до выравнивания песка. Уровень песка будет отделять от отрезка третью часть.

[grizzly]

gris в сообщении #1304175 писал(а):

А вот ещё решение, только с песком. Берём отрезок

Физики в таких решениях обычно в качестве отрезка используют барометр, кажется (но там погрешности возникают :)

[Побережный Александр]

Делим диагональ параллелограмма на три части.
Пусть задан параллелограмм $ABCD$.
Чтобы поделить диагональ $AC$ на три равные части надо соединить точку $B$ с серединой стороны $AD$, точку $D$ соединить с серединой стороны $BC$. Эти отрезки и поделят диагональ $AC$ на три равных отрезка.

Чтобы разделить произвольный отрезок на три равные части, предлагается следующее.
На заданном отрезке, как на диаметре, построить окружность и с этим же размахом циркуля отметить на окружности шесть точек правильного шестиугольника, две из которых концы данного отрезка.
Пусть $ABCDEF$ - правильный шестиугольник, $AD$ - заданный отрезок. Построим параллелограмм $ACDF$ с диагональю $AD$, он же прямоугольник. Проведем отрезок $BE$. Этот отрезок пересечет стороны $AC$ и $DF$ прямоугольника ровно посередине.
Соединяем вершину $F$ с серединой стороны $AC$ и вершину $C$ с серединой стороны $DF$. Эти отрезки разделят диагональ $AD$ на три равные части.

[DeBill]

В развитие темы...
А хорошая (старая) задача: разделить отрезок на три равные части, используя только циркуль
(Вариант: у отрезка даны только его концы, самого отрезка - нет. Но это, видимо, легче...)

[wrest]

DeBill в сообщении #1304576 писал(а):

В развитие темы...
А хорошая (старая) задача: разделить отрезок на три равные части, используя только циркуль

У меня получилось за 13 шагов (даны только концы, самого отрезка нет)...
Если дан отрезок, то 9 шагов.

Если дан отрезок и прямая, на которой он лежит, то 5 шагов. И мне кажется, что и с линейкой тут быстрее никак. То есть, если, скажем, даны только концы и надо построить циркулем и линейкой, то первым шагом строим прямую, а затем строим 5 окружностей, всего 6 шагов, и быстрее, кажется, нельзя.

Один шаг при пострении циркулем -- построение одной окружности из уже построенного центра, проходящей через уже построенную точку. Построение точек пересечения окружностей за шаг не считаем.

[DeBill]

wrest в сообщении #1305177 писал(а):

У меня получилось за 13 шагов (

А у меня -за 12...

[wrest]

DeBill в сообщении #1305231 писал(а):

А у меня -за 12...

Тогда я улучшаю до 10-ти