Делить отрезок на три

[wrest]

Только циркуль, 10 шагов.
Синим -- исходные точки. Красным -- промежуточные, зеленым -- искомые.

(Чертежик)

$\tikz[scale=4] { \draw [line width=0.25pt,color=black] (-0.29451,0.0702) circle (0.4953218761573125cm); \draw [line width=0.25pt,color=black] (-0.72298,-0.17831) circle (0.4953218761573125cm); \draw [line width=0.25pt,color=black] (-0.7239609730944709,0.3170109047595185) circle (0.8579226556048046cm); \draw [line width=0.25pt,color=black] (0.13396,0.31871) circle (0.49532187615731255cm); \draw [line width=0.25pt,color=black] (0.13494097309447087,-0.17661090475951846) circle (0.8579226556048045cm); \draw [line width=0.25pt,color=black] (0.56243,0.56722) circle (1.4859656284719374cm); \draw [line width=0.25pt,color=black] (-0.40653416885031907,-0.5593687841107823) circle (0.49532187615731266cm); \draw [line width=0.25pt,color=black] (-0.8966024978163475,0.2855854507774488) circle (0.49532187615731244cm); \draw [line width=0.25pt,color=black] (-0.2935290269055291,-0.4251209047595184) circle (0.43683283441406096cm); \draw [line width=0.25pt,color=black] (-0.7239609730944709,0.3170109047595185) circle (0.436832834414061cm); \begin{scriptsize} \draw [fill=blue] (-0.72298,-0.17831) circle (0.6pt); \draw[color=blue] (-0.7862283571814468,-0.14054226608493364) node {$A$}; \draw [fill=blue] (-0.29451,0.0702) circle (0.6pt); \draw[color=blue] (-0.2518593706663158,0.11269283595838145) node {$B$}; \draw [fill=red] (-0.7239609730944709,0.3170109047595185) circle (0.4pt); \draw[color=wrwrwr] (-0.7518913941925227,0.3788042991225431) node {$C$}; \draw [fill=red] (-0.2935290269055291,-0.4251209047595184) circle (0.4pt); \draw[color=wrwrwr] (-0.32697147720458725,-0.35514828476570914) node {$D$}; \draw [fill=red] (0.13396,0.31871) circle (0.4pt); \draw[color=wrwrwr] (0.16662236576119652,0.35090551669404224) node {$E$}; \draw [fill=red] (0.13494097309447087,-0.17661090475951846) circle (0.4pt); \draw[color=wrwrwr] (0.15159994445354225,-0.13410408552451036) node {$F$}; \draw [fill=red] (0.56243,0.56722) circle (0.4pt); \draw[color=wrwrwr] (0.5786659216282857,0.6084327391109728) node {$G$}; \draw [fill=red] (-0.40653416885031907,-0.5593687841107823) circle (0.4pt); \draw[color=wrwrwr] (-0.3613084401935113,-0.5397094608311761) node {$H$}; \draw [fill=red] (-0.8966024978163475,0.2855854507774488) circle (0.4pt); \draw[color=wrwrwr] (-0.8742168248405648,0.344467336133619) node {$I$}; \draw [fill=green] (-0.5801566666666677,-0.09547333333333385) circle (0.4pt); \draw[color=wrwrwr] (-0.5887908199951334,-0.016070775250083845) node {$J$}; \draw [fill=green] (-0.4373333333333329,-0.012636666666666407) circle (0.4pt); \draw[color=wrwrwr] (-0.4450047874790138,0.04187284979372553) node {$K$}; \end{scriptsize} }$
Двухбуквенные обозначения ниже - окружности, первая буква центр, вторая -- через какую точку проходит.
0. Даны произвольные A и B.
1. Строим AB
2. Строим BA
3. Отмечаем точки пересечения AB и BA как С и D
4. Строим CD
5. Отмечаем точку пересечения CD и BA как E
6. Строим EB
7. Отмечаем точку пересечения EB и BA как F
9. Строим FA
10. Отмечаем точку пересечения FA и EB как G
11. Строим GA
12. Отмечаем точки пересечения GA и AB как H и I
13. Строим HA и IA
14. Отмечаем точку пересечения HA и IA как J. Первая искомая точка найдена.
15. Строим DJ и CJ
16. Отмечаем точку пересечения DJ и CJ как K. Вторая искомая точка найдена.

Приглашаю улучшить количество шагов :)

[Побережный Александр]

Красиво! О таких решениях я даже не задумывался.

[wrest]

Побережный Александр
Ну вы же наверное слыхали, что есть целая теорема о том, что все точки, какие можно построить циркулем и линейкой, можно построить только одним лишь циркулем...
Указанный мной способ построения, кстати, универсальный. Если посмотрите на чертежик, то там сначала строится точка $G$ такая, что $AG=3\cdot AB$, так что если бы надо было поделить отрезок на $n$ частей, то можно было бы сперва построить точку на прямой $AB$ удаленную от точки $A$ (или $B$) на расстояние $n\cdot AB$, потом из неё вести окружность через $A$ и из точек пересечения этой окружности с окружностью $AB$ вести окружности через $A$
В итоге получаются подобные треугольники с коэффициентом подобия $n$, что и решает задачу. На чертежике, в частности, $\triangle HAJ \sim \triangle GHA$