2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Два уравнения
Сообщение30.06.2008, 01:08 


07/05/08
247
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить пару уравнений:

1) $\cos{x}(2\sin{x}-3)=2\sqrt{3}\cos{2x}+2\sin{x}$
Вообще никаких идей :(
2) $\sqrt{x}+3x=2\sqrt{5-x}$
При возведении в квадрат получается уравнение 4й степени. Может тут можно сделать какую-нибудь замену?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.06.2008, 01:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
Niclax писал(а):
Может тут можно сделать какую-нибудь замену?


Ну, например, $\sqrt{x}=t$, $t\geqslant 0$. Будет на одно возведение в квадрат меньше. Но от уравнения четвёртой степени никуда не деться.
А вообще-то, если один корень подобрать, да доказать, что других нет...

 Профиль  
                  
 
 Re: Два уравнения
Сообщение30.06.2008, 01:29 


21/03/06
1545
Москва
Niclax писал(а):
2) $\sqrt{x}+3x=2\sqrt{5-x}$
При возведении в квадрат получается уравнение 4й степени. Может тут можно сделать какую-нибудь замену?

Найдем ОДЗ - $x \in [0;5]$
Увидим, что слева функция монотонно возрастающая (докажите), справа - монотонно убывающая, таким образом уравнение имеет единственное решение. Исходя из того, что задача учебная ( :D ), предполагаем, что корень - "хороший". Простой перебор целых значений $x$ из ОДЗ позволяет его легко найти.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.06.2008, 01:48 


07/05/08
247
e2e4
Гениально! :D

 Профиль  
                  
 
 Тригонометрическое уравнение
Сообщение30.06.2008, 07:44 


29/04/08
34
Murino
Тригонометрическее уравнение можно переписать в виде
\[
\sin 2x - 2\sqrt 3 \cos 2x = 3\cos x + 2\sin x
\]
и воспользоваться тем, что амплитуды левой и правой частей совпадают.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.06.2008, 08:18 


21/03/06
1545
Москва
Niclax писал(а):
e2e4
Гениально! :D

Да нет, довольно известный способ - Someone посоветовал его же чуть раньше.
И не смейтесь - решение задачи вполне корректно и точно - один корень найден точно, доказано, что других нет - что еще надо? Так что должны зачесть, хотя в школе бывают разные учителя и взгляды.

Добавлено спустя 55 секунд:

Re: Тригонометрическое уравнение

Bard писал(а):
Тригонометрическее уравнение можно переписать в виде
\[
\sin 2x - 2\sqrt 3 \cos 2x = 3\cos x + 2\sin x
\]
и воспользоваться тем, что амплитуды левой и правой частей совпадают.

Амплитуды действительно совпадают на графиках на первый взгляд. Но поясните, как Вы это увидели? :oops:

Добавлено спустя 4 минуты 25 секунд:

По поводу первого уравнения мне честно говоря приходит в голову только привести все функции к одному аргументу, преобразовать формулу по формулам тангенса половинного аргумента, тангенс половинного аргумента заменить на новую переменную и попробовать решить полученный многочлен. Однако, вряд ли что-то получится.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.06.2008, 08:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
e2e4 писал(а):
Амплитуды действительно совпадают на графиках на первый взгляд. Но поясните, как Вы это увидели?

\[
a\sin t + b\cos t = \sqrt {a^2  + b^2 } \sin (t + \alpha )
\]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.06.2008, 22:23 


07/05/08
247
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group