Два уравнения

[Niclax]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить пару уравнений:

1) $\cos{x}(2\sin{x}-3)=2\sqrt{3}\cos{2x}+2\sin{x}$
Вообще никаких идей
2) $\sqrt{x}+3x=2\sqrt{5-x}$
При возведении в квадрат получается уравнение 4й степени. Может тут можно сделать какую-нибудь замену?

[Someone]

Niclax писал(а):

Может тут можно сделать какую-нибудь замену?

Ну, например, $\sqrt{x}=t$, $t\geqslant 0$. Будет на одно возведение в квадрат меньше. Но от уравнения четвёртой степени никуда не деться.
А вообще-то, если один корень подобрать, да доказать, что других нет...

[e2e4]

Niclax писал(а):

2) $\sqrt{x}+3x=2\sqrt{5-x}$
При возведении в квадрат получается уравнение 4й степени. Может тут можно сделать какую-нибудь замену?

Найдем ОДЗ - $x \in [0;5]$
Увидим, что слева функция монотонно возрастающая (докажите), справа - монотонно убывающая, таким образом уравнение имеет единственное решение. Исходя из того, что задача учебная ( ), предполагаем, что корень - "хороший". Простой перебор целых значений $x$ из ОДЗ позволяет его легко найти.

[Niclax]

e2e4
Гениально!

[Bard]

Тригонометрическее уравнение можно переписать в виде

\[ \sin 2x - 2\sqrt 3 \cos 2x = 3\cos x + 2\sin x \]

и воспользоваться тем, что амплитуды левой и правой частей совпадают.

[e2e4]

Niclax писал(а):

e2e4
Гениально!

Да нет, довольно известный способ - Someone посоветовал его же чуть раньше.
И не смейтесь - решение задачи вполне корректно и точно - один корень найден точно, доказано, что других нет - что еще надо? Так что должны зачесть, хотя в школе бывают разные учителя и взгляды.

Добавлено спустя 55 секунд:

Re: Тригонометрическое уравнение

Bard писал(а):

Тригонометрическее уравнение можно переписать в виде

\[ \sin 2x - 2\sqrt 3 \cos 2x = 3\cos x + 2\sin x \]

и воспользоваться тем, что амплитуды левой и правой частей совпадают.

Амплитуды действительно совпадают на графиках на первый взгляд. Но поясните, как Вы это увидели?

Добавлено спустя 4 минуты 25 секунд:

По поводу первого уравнения мне честно говоря приходит в голову только привести все функции к одному аргументу, преобразовать формулу по формулам тангенса половинного аргумента, тангенс половинного аргумента заменить на новую переменную и попробовать решить полученный многочлен. Однако, вряд ли что-то получится.

[Brukvalub]

e2e4 писал(а):

Амплитуды действительно совпадают на графиках на первый взгляд. Но поясните, как Вы это увидели?

\[ a\sin t + b\cos t = \sqrt {a^2 + b^2 } \sin (t + \alpha ) \]

[Niclax]

Спасибо!