Здравствуйте, уважаемые форумчане! Начал изучать функциональный анализ по книге Колмогорова-Фомина и наткнулся на теорему Кантора-Бернштейна, которая формулируется следующим образом.
Цитата:
Пусть

и

являются произвольными множествами. Если существуют взаимно однозначное отображение

множества

на подмножество

множества

и взаимно однозначное отображение

множества

на подмножество

множества

, то

и

эквивалентны.
С формулировкой всё понятно, но вот в доказательстве теоремы возникла путаница. Доказательство следующее.
Цитата:
Не ограничивая общности, можно считать, что

и

не пересекаются. Пусть

произвольный элемент из

. Положим

и определим последовательность элементов

следующим образом. Пусть элемент

уже определен. Тогда, если

чётно, то за

примем элемент из

, удовлетворяющий условию

(если такой элемент существует), а если

нечётно, то

элемент из

, удовлетворяющий условию

(если он существует).
Возможны два случая.
1) При некотором

элемента

, удовлетворяющего указанным условиям, не существует. Число

называют порядком элемента

.
2) Последовательность

бесконечна. Тогда

называется элементом бесконечного порядка.
Разобьём теперь

на три множества:

, состоящее из элементов чётного порядка,

множество элементов нечётного порядка и

множество всех элементов бесконечного порядка. Разбив аналогичным образом множество

, заметим, что

отображает

на

и

на

, а

отображает

на

. Итак, взаимно однозначное отображение

, совпадающее с

на

и с

на

, есть взаимно однозначное отображение всего

на всё

.
Вот такое доказательство. А непонятно для меня в нём следующее:
1)
Цитата:
Положим

и определим последовательность элементов

следующим образом.
Почему приравниваем

, а не

? Ведь

то мы знаем, он из множества

, а

определяем, чтобы в дальнейшем задать последовательность, как я понимаю.
2)
Цитата:
Разобьём теперь

на три множества:

, состоящее из элементов чётного порядка,

множество элементов нечётного порядка и

множество всех элементов бесконечного порядка.
Почему имеет место такое разбиение? Ведь согласно следующему.
Цитата:
Пусть элемент

уже определен. Тогда, если

чётно, то за

примем элемент из

, удовлетворяющий условию

(если такой элемент существует), а если

нечётно, то

элемент из

, удовлетворяющий условию

(если он существует).
Получается, что множество

должно быть пустым. Ведь мы, согласно вышеприведенным правилам, в

помещали только те элементы, номер которых был чётным. Или я что-то неправильно понимаю?
Буду благодарен, если наведёте на нужные мысли и поможете прояснить это доказательство теоремы.