Теорема Кантора-Бернштейна

[Elarium]

Здравствуйте, уважаемые форумчане! Начал изучать функциональный анализ по книге Колмогорова-Фомина и наткнулся на теорему Кантора-Бернштейна, которая формулируется следующим образом.

Цитата:

Пусть $A$ и $B$ являются произвольными множествами. Если существуют взаимно однозначное отображение $f$ множества $A$ на подмножество $B_1$ множества $B$ и взаимно однозначное отображение $g$ множества $B$ на подмножество $A_1$ множества $A$, то $A$ и $B$ эквивалентны.

С формулировкой всё понятно, но вот в доказательстве теоремы возникла путаница. Доказательство следующее.

Цитата:

Не ограничивая общности, можно считать, что $A$ и $B$ не пересекаются. Пусть $x\ -$ произвольный элемент из $A$. Положим $x=x_0$ и определим последовательность элементов $\left\{ x_n\right\}$ следующим образом. Пусть элемент $x_n$ уже определен. Тогда, если $n$ чётно, то за $x_{n+1}$ примем элемент из $B$, удовлетворяющий условию $g(x_{n+1}) = x_n$ (если такой элемент существует), а если $n$ нечётно, то $x_{n+1}\ -$ элемент из $A$, удовлетворяющий условию $f(x_{n+1}) = x_n$ (если он существует).
Возможны два случая.
1) При некотором $n$ элемента $x_{n+1}$, удовлетворяющего указанным условиям, не существует. Число $n$ называют порядком элемента $x$.
2) Последовательность $\{x_n\}$ бесконечна. Тогда $x$ называется элементом бесконечного порядка.
Разобьём теперь $A$ на три множества: $A_E$, состоящее из элементов чётного порядка, $A_O\ -$ множество элементов нечётного порядка и $A_I \ -$ множество всех элементов бесконечного порядка. Разбив аналогичным образом множество $B$, заметим, что $f$ отображает $A_E$ на $B_O$ и $A_I$ на $B_I$, а $g^{-1}$ отображает $A_O$ на $B_E$. Итак, взаимно однозначное отображение $\psi$, совпадающее с $f$ на $A_E \cup A_I$ и с $g^{-1}$ на $A_O$, есть взаимно однозначное отображение всего $A$ на всё $B$.

Вот такое доказательство. А непонятно для меня в нём следующее:
1)

Цитата:

Положим $x=x_0$ и определим последовательность элементов $\left\{ x_n\right\}$ следующим образом.

Почему приравниваем $x=x_0$, а не $x_0=x$? Ведь $x$ то мы знаем, он из множества $A$, а $x_0$ определяем, чтобы в дальнейшем задать последовательность, как я понимаю.
2)

Цитата:

Разобьём теперь $A$ на три множества: $A_E$, состоящее из элементов чётного порядка, $A_O\ -$ множество элементов нечётного порядка и $A_I \ -$ множество всех элементов бесконечного порядка.

Почему имеет место такое разбиение? Ведь согласно следующему.

Цитата:

Пусть элемент $x_n$ уже определен. Тогда, если $n$ чётно, то за $x_{n+1}$ примем элемент из $B$, удовлетворяющий условию $g(x_{n+1}) = x_n$ (если такой элемент существует), а если $n$ нечётно, то $x_{n+1}\ -$ элемент из $A$, удовлетворяющий условию $f(x_{n+1}) = x_n$ (если он существует).

Получается, что множество $A_O$ должно быть пустым. Ведь мы, согласно вышеприведенным правилам, в $A$ помещали только те элементы, номер которых был чётным. Или я что-то неправильно понимаю?

Буду благодарен, если наведёте на нужные мысли и поможете прояснить это доказательство теоремы.

[mihaild]

Elarium в сообщении #1303701 писал(а):

Почему приравниваем $x=x_0$, а не $x_0=x$?

Просто такая формулировка; возможно, неудачная.
Для каждого $x$ мы определяем (конечную или бесконечную) последовательность $\{x_n\}$.

Elarium в сообщении #1303701 писал(а):

Ведь мы, согласно вышеприведенным правилам, в $A$ помещали только те элементы, номер которых был чётным.

Нет.
Мы взяли $x$ и строим цепочку его прообразов. Если цепочка закончилась в $A$ - то порядок четный, если в $B$ - то нечетный, если не закончилась - то бесконечный.

[Elarium]

mihaild в сообщении #1303711 писал(а):

Elarium в сообщении #1303701 писал(а):

Почему приравниваем $x=x_0$, а не $x_0=x$?

Просто такая формулировка; возможно, неудачная.
Для каждого $x$ мы определяем (конечную или бесконечную) последовательность $\{x_n\}$.

Elarium в сообщении #1303701 писал(а):

Ведь мы, согласно вышеприведенным правилам, в $A$ помещали только те элементы, номер которых был чётным.

Нет.
Мы взяли $x$ и строим цепочку его прообразов. Если цепочка закончилась в $A$ - то порядок четный, если в $B$ - то нечетный, если не закончилась - то бесконечный.

Ага, понятно. Спасибо!
Тогда правильно ли я понимаю, что мы, вначале, строим цепочки прообразов для всех $x \in A$, а потом для всех $x \in B$, тем самым разбивая множества $A$ и $B$ на классы (чётного, нечётного и бесконечного порядков)?

[mihaild]

Да, так. А потом собираем биекцию между некоторыми из получившихся классов.

[Elarium]

mihaild в сообщении #1303866 писал(а):

Да, так. А потом собираем биекцию между некоторыми из получившихся классов.

Спасибо, разобрался!