Вероятность содержания в выборке мощности n всех цветов k

[sergbolgov]

Всем доброго времени суток!

Эксперимент поставлен следующим образом:
Шары раскрашены в k цветов.
Последовательно берется n шаров(по одному за раз) и складываются в корзину. Цвета шаров равновероятны.
Определить вероятности, что в корзине окажутся шары всех k цветов для разных n.
Ответ получил такой:

$$\frac{\tilde C_{k}^{n-k}} {\tilde C_{k}^{n}}$$

фиксируем k шариков разных цветов, берем оставшееся кол-во комбинаций - число сочетаний с повторами и делим на полное число сочетаний с повторами. Вроде логично. Но числа получаются уж очень большими. Скажем, для 50 цветов нужно выбрать 1832 шарика, чтобы искомая вероятность оказалась всего лишь 26.25%. Моделирование с генератором случ.чисел тоже говорит, что считается неверно.

[gris]

Мне это напомнило задачу: по $k$ лункам равновероятно разбрасывается $n$ шариков. Какова вероятность того, что в каждой лунке будет шарик. (С многочисленными вариантами вопроса). Похоже?
Для $n=k$ задача решается просто. В вашей формулировке — какова вероятность за первые $k$ выниманий вынуть шары всех цветов. Этим частным случаем легко проверять полученные вами ответы для общего случая.

[mihaild]

У вас тут получается, что заранее зафиксировано, что данные $k$ номеров извлечения (например первые $k$) дадут все разные цвета. Но есть куча комбинаций, когда цвета среди первых $k$ повторяются, но всё равно все $n$ шаров дают все цвета.

[DeBill]

sergbolgov в сообщении #1303501 писал(а):

фиксируем k шариков разных цветов,

Куда? Куда и чем мы их фиксируем, спрашиваю я своих студентов в таких случаях...
Вообще, это - достаточно типичная ситуация для нынешнего ЕГЭшного мира: быстро-быстро взять какую-нибудь формулу, засунуть в нее данные, и получить что-то...Нетипично -критически воспринять результат, и попробовать проверить. Но, опять же, как: численный эксперимент ...Это позволит понять, что что-то не так. Но - что? А для этого надо не сбольшими числами работать, а с маленькими, причем - ручками....
Но - к делу. Начинать решение вероятностной задачи надо не с попытки засунуть ее в рамки- формулы (это - тоже будет, но - попозжа), а с осознания мира, в котором мы живем (надо построить вероятностное пространство, если на научном языке).
Итак, что у нас есть? Шары, $k$ цветов. Вот мы взяли первый шар, записали его цвет. Вот - второй, и т.д. Что получилось? А получился - (упорядоченный) набор. Длины - $n$, числа в наборе - от 1 до $k$ ( номера цветов). Для полного счастя, можно сказать, что все наборы равновероятны, так что - (вот и засунута задача в свои - грубые - рамки) - вероятность у нас - классическая (модель состряпана. ) Ну, а теперь можно и посмотреть, что же в задаче спрашивается? Ага, про наборы, в которых есть все цвета. И как мы (Вы, в смысле), хотели ее решать? Кого же Вы фиксировали? Места, на которых появились эти шары? Это - первые $k$ мест? Или - последние? Или какие? Или не места? Или кто?
Если - первые, то не факт: вдруг поначалу были повторы, а потом появились недостающие... Если - последние - аналогично: не все комбинации будут сосчитаны. Если же сложить по всем вариантам, то, наоборот, повторы начнутся...
Вобщем, проделайте ручками - выписав вообще все варианты выпадения шаров, и отметив потом среди них благоприятные - для трех шаров двух цветов. И сравните с Вашей попыткой - где же там была лажа (Вообще, ошибаться полезно и поучительно - если свои ошибки находить и "фиксировать") . Ну, а потом можно и в общем случае пообсуждать. Но, имейте в виду, ответ будет достаточно поганый.....

[sergbolgov]

а, неравновероятны комбинации будут, мда..
стал быть в знаменателе должен стоять

$$k^n$$

Но как считать числитель?

[DeBill]

sergbolgov в сообщении #1303515 писал(а):

мда..
стал быть в знаменателе должен стоять

(Оффтоп)

Нда. Современный студент попался: думать не хочет, а решить - хочет...

Да.
Как? Ну, есть такая формула - включений-исключений называется...
Но толку таки не будет, пока Вы не врубитесь в существо дела.
А начинать надо - опять с простого, иначе запутаетесь.
Именно, решите задачу для а) двух цветов. Это - просто: надо просто выбросить нехорошие наборы.
б) для трех конкретных цветов. Это уже посложнее, но идея - та же, и а) - поможет, надо только быть повнимательнее...
Ну, а коль это осилите - то и та формула заработает.

[sergbolgov]

ну, вроде так:

$$1-\frac{\sum\limits_{i=1}^n(-1)^iC_{k}^{k-i}(k-i)^n} {k^n}$$

-- 16.04.2018, 14:28 --

sergbolgov в сообщении #1304739 писал(а):

ну, вроде так:

$$1-\frac{\sum\limits_{i=1}^n(-1)^iC_{k}^{k-i}(k-i)^n} {k^n}$$

нет, не так((

-- 16.04.2018, 14:47 --

sergbolgov в сообщении #1304739 писал(а):

ну, вроде так:

$$1-\frac{\sum\limits_{i=1}^n(-1)^iC_{k}^{k-i}(k-i)^n} {k^n}$$

-- 16.04.2018, 14:28 --

sergbolgov в сообщении #1304739 писал(а):

ну, вроде так:

$$1-\frac{\sum\limits_{i=1}^n(-1)^iC_{k}^{k-i}(k-i)^n} {k^n}$$

нет, не так((

не, все так, только сумма идет не до n, а до k

Вот только не нравится, что для случая k > n не будет нуля или беллиберды хотя бы((

[sergbolgov]

и минус на плюс заменить

[DeBill]

sergbolgov в сообщении #1304739 писал(а):

не, все так, только сумма идет не до n, а до k

И знак перед суммой не тот.
А нуль - будет, если цэшки понимать правильно...

[sergbolgov]

sergbolgov в сообщении #1304739 писал(а):

Вот только не нравится, что для случая k > n не будет нуля или беллиберды хотя бы((

Будет ноль, совсем шикарно:)

Не знаю, можно ли здесь похожую задачку спросить? Да простит меня сообщество, если что нарушаю:
а какова будет вероятность содержания в выборке мощности n половины всех имеющихся цветов k?

-- 16.04.2018, 15:39 --

[quote="DeBill в [url=http://dxdy.ru/post1304780.html#p1304780]
А нуль - будет, если цэшки понимать правильно...[/quote]

цешки... там же еще степени, да разные основания- вот как вместе с ними понимать?

[DeBill]

А, нормальные тут цэшки.
А тождество - да, достаточно нетривиальное. Оно где-то на форуме уже обсуждалось.
Посмотрю, может, найду.

-- 16.04.2018, 17:51 --

«Неожиданное разложение числа в степени»

[sergbolgov]

DeBill в сообщении #1304791 писал(а):

-- 16.04.2018, 17:51 --

«Неожиданное разложение числа в степени»

клева, спасибо!