В этом тексте сопоставляются два определения канонических преобразований. Одно содержится в учебнике Арнольда "Мат методы классической механики", другое -- в учебнике Болотина Карапетяна Кугушева Трещева "Теоретическая механика"
Рассмотрим гамильтонову систему

на фазовом многообразии

с локальными координатами

.
Введем ещерасширенное фазовое пространство

переменных

.
Определение. Замена координат

в расширенном фазовом пространстве

называется канонической, если

Замены координат мы будем также называть преобразованиями.
Можно показать, что при такой замене гамильтонова система (0) переходит в систему

Локально формула (1) означает, что существует функция

такая, что

Важным частным случаем преобразований расширенного фазового пространства являются преобразования вида

Утверждение. Преобразование (3) является каноническим тогда и только тогда, когда при каждом фиксированном

преобразование фазового многообразия

сохраняет форму

, определенную на

.
Доказательство. Для функций

введем операцию

Условие утверждения можно теперь переформулировать следующим способом. Преобразование (3) является каноническим тогда и только тогда, когда

Последнее условие локально эквивалентно существованию такой функции

, что

Покажем, что из (2) следует (4). Формула (2) переписывается следующим образом

Поскольку левая часть этой формулы не содержит

, то левая и правая части обращаются в ноль:

.
Обратно, из (4) находим

Остается положить

Утверждение доказано.
Отметим, что если функции

в каноническом преобразовании (3) не зависят от времени, то гамильтониан преобразуется как функция, в которой заменили переменные:

.
Действительно, в силу (4) функция

не зависит от времени, и сказанное вытекает из формулы (5).