Канонические замены переменных в гамильтоновой системе

[pogulyat_vyshel]

В этом тексте сопоставляются два определения канонических преобразований. Одно содержится в учебнике Арнольда "Мат методы классической механики", другое -- в учебнике Болотина Карапетяна Кугушева Трещева "Теоретическая механика"

Рассмотрим гамильтонову систему

$$\dot x^i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\quad \dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial x^i},\quad H=H(t,x,p),\quad (x,p)\in\mathbb{R}^{2m}\qquad (0)$$

на фазовом многообразии $M$ с локальными координатами $(x,p)$.
Введем ещерасширенное фазовое пространство $\tilde M=\mathbb{R}\times M$ переменных $(t,x,p)$.



Определение. Замена координат $(t,x,p)\mapsto (T,X,P)$ в расширенном фазовом пространстве $\tilde M$ называется канонической, если

$$dp_i\wedge dx^i-dH\wedge dt=dP_i\wedge dX^i-d K\wedge dT,\quad K=K(T,X,P).\qquad (1)$$

Замены координат мы будем также называть преобразованиями.

Можно показать, что при такой замене гамильтонова система (0) переходит в систему

$$\frac{ dX^i}{dT}=\frac{\partial K}{\partial P_i},\quad \frac{ dP_i}{dT}=-\frac{\partial K}{\partial X^i}.$$

Локально формула (1) означает, что существует функция $S=S(T,X,P)$ такая, что

$$p_idx^i-Hdt=P_idX^i-KdT+dS.\qquad (2)$$

Важным частным случаем преобразований расширенного фазового пространства являются преобразования вида

$$T=t,\quad X=X(t,x,p),\quad P=P(t,x,p).\qquad (3)$$

Утверждение. Преобразование (3) является каноническим тогда и только тогда, когда при каждом фиксированном $t$ преобразование фазового многообразия $(x,p)\mapsto (X(t,x,p),P(t,x,p))$ сохраняет форму $dp_i\wedge dx^i$, определенную на $M$.

Доказательство. Для функций $f=f(t,x,p)$ введем операцию

$$\delta f=\frac{\partial f}{\partial x^i}dx^i+\frac{\partial f}{\partial p_i}dp_i,\quad df=\delta f+\frac{\partial f}{\partial t}dt.$$

Условие утверждения можно теперь переформулировать следующим способом. Преобразование (3) является каноническим тогда и только тогда, когда $\delta P_i\wedge\delta X^i=\delta p_i\wedge\delta x^i=d p_i\wedge d x^i.$ Последнее условие локально эквивалентно существованию такой функции $W(t,X,P)$, что

$$p_id x^i=P_i\delta X^i+\delta W.\qquad (4)$$

Покажем, что из (2) следует (4). Формула (2) переписывается следующим образом

$$p_idx^i-\delta S-P_i\delta X^i=\Big(H-K+P_i\frac{\partial X^i}{\partial t}+\frac{\partial S}{\partial t}\Big)dt.$$

Поскольку левая часть этой формулы не содержит $dt$, то левая и правая части обращаются в ноль: $p_idx^i-\delta S-P_i\delta X^i=0$.

Обратно, из (4) находим

$$p_idx^i-Hdt=P_idX^i-\Big(P_i\frac{\partial X^i}{\partial t}+\frac{\partial W}{\partial t}+H\Big)dt+dW.$$

Остается положить

$$K(t,X,P)=\frac{\partial W}{\partial t}+\Big(P_i\frac{\partial X^i}{\partial t}+H\Big)\Big|_{(x,p)\mapsto (X,P)}.\qquad (5) $$

Утверждение доказано.


Отметим, что если функции $P,X$ в каноническом преобразовании (3) не зависят от времени, то гамильтониан преобразуется как функция, в которой заменили переменные: $K(t,X,P)=H(t,x(X,P),p(x,P))$.
Действительно, в силу (4) функция $W$ не зависит от времени, и сказанное вытекает из формулы (5).