Аппроксимация аппаратной функции спектрометра+камеры

[aitap]

Доброго времени суток!

В лаборатории мы получаем плазму, действуя наносекундными лазерными импульсами на образцы, разлагаем излучение спектрографом Черни-Тёрнера и регистрируем при помощи камеры с электронно-оптическим преобразователем. В последние годы заинтересовались возможностью моделировать спектры, исходя из локального термодинамического равновесия, баз данных с атомными уровнями и переходами и уравнения переноса излучения (в предположении, что плазма однородна по условиям и составу).

Естественно, на определённом этапе приходится сворачивать рассчитанные интенсивности линий контурами, в том числе, аппаратной функцией нашей установки. Аппаратную функцию получили, равномерно осветив щель спектрографа ртутной лампой (линия 404.65650 нм):



Она очень хорошо описывалась функцией Лоренца $ L(\lambda,A,w,\lambda_0) { \frac{2A}{\pi} \frac{w}{4(\lambda-\lambda_0)^2 + w^2} } $ с шириной 3.76 пикселя. (Лучше, чем всеми другими известными мне колоколообразными функцями.) Смоделированные с такой аппаратной функцией спектры имели значительно меньший уровень фона, чем экспериментальные. Оказалось, что снаружи контура Лоренца есть треугольный остаток малой интенсивности, хорошо заметный, если вычесть теоретический контур из экспериментального:



В принципе, причины тому есть: оптоволокно внутри камеры с ЭОПом прилегает не плотно, а отделено слоем клея, который может рассеивать излучение; электроны в самом ЭОП могут вылетать не совсем перпендикулярно пластине, и так далее, и так далее; проблема в том, что недавно мы получили экспериментальный спектр, где линии идут совсем часто, и псевдофон там ещё интенсивнее, чем мы можем синтезировать с вот такой "подправленной" аппаратной функцией из контура Лоренца и треугольника. Возникла мысль, что истинная аппаратная функция ещё долго не достигает нуля, и когда рядом находится очень много линий, их наложение даёт этот интенсивный псевдофон, но зарегистрировать хвост аппаратной функции от индивидуальной линии на нашем оборудовании мы не можем (если попробовать усилить сигнал ещё больше, мы наткнёмся на нелинейности, которые будет ещё труднее учесть).

Я попробовал выполнить обратную свёртку экспериментальной аппаратной функции контуром Лоренца, которым она описывалась (путём деления Фурье-образов), но ни к какому осмысленному результату не пришёл: естественно, меня укусила неопределённость, возникающая при делении очень маленьких чисел - в области высоких частот - друг на друга.

Вопрос: какие ещё добавки к колоколообразной функции можно попробовать, чтобы получить искомое очень долгое, но едва различимое затухание на крыльях?

[Alex-Yu]

aitap в сообщении #1303373 писал(а):

Я попробовал выполнить обратную свёртку экспериментальной аппаратной функции контуром Лоренца, которым она описывалась (путём деления Фурье-образов), но ни к какому осмысленному результату не пришёл:

Вам надо почитать книгу Тихонова "Методы решения некорректных задач. "В лоб" делить фурье-образы нельзя. Но методы восстановления, в частности, спектра по его свертке с аппаратной функцией есть. Приближенно, конечно.

-- Чт апр 12, 2018 11:21:32 --

aitap в сообщении #1303373 писал(а):

какие ещё добавки к колоколообразной функции можно попробовать

ИМХО это не поможет. Тихонова читайте.

[Vince Diesel]

Почему бы не предположить в качестве простейшей гипотезы, что, в силу перечисленных неучтенных факторов, на второй картинке нормальное распределение с каким-то добавками? Подогнать параматры с помощью МНК, вычесть, а потом уже смотреть, какие остатки.

[Gleb1964]

Но ведь инструментальная (аппаратная) функция меняется с длиной волны. С изменение длины волны меняется угол отклонения на дифракционной решетки и, соответственно, угловое увеличение. Спектрограф строит изображение входной щели на приемнике (или на выходной щели в монохроматоре), изменение углового увеличения на решетке приводит к изменению ширины изображения. Другой фактор - изменение баланса аберраций. В схеме Черни-Тёрнера кома коллимирующего зеркала компенсируется комой фокусирующего зеркала только для какой-то одной выбранной длины волны, для других длин волн баланс нарушается, возникает ассиметрия.
Вы не пробовали получить аппаратную функцию для еще какой-нибудь длины волны и сравнить, насколько изменяется ее форма?

[aitap]

Большое спасибо за ответы!

Alex-Yu, понял. Жизнь мне уже намекала на работы Тихонова, когда я только начал пробовать black box оптимизацию для подбора параметров модели. Главы V, VI "Методов решения некорректных задач" обязательно изучу.

Vince Diesel, если подогнать и вычесть из остатков $G(x) = a e^{-\frac{(x-b)^2}{2c^2}}$ с
$a=5.285\cdot10^{-4}$, $b=693.9$, $c=72.54$, получается следующее:




(Надеюсь, я не ввёл никого в заблуждение, показав самый первый график остатков с обрезанной осью ординат. При подгонке экспериментальных пиков самая большая ошибка там тоже в нескольких точках в районе вершины.)

Gleb1964, мы специально измеряем аппаратную функцию в пикселях, потому что с геометрических позиций она остаётся постоянной (между щелью и камерой только зеркала, которые отражают независимо от длины волны). Теоретически, дифракционная функция может меняться с положением дифракционной решётки, но в наших опытах геометрическая (в мм или пикселях) ширина всех линий ртутной лампы, укладывающихся в линейный диапазон камеры, сохраняется.

Естественно, при моделировании приходится рассчитывать аппаратную функцию в нанометрах, исходя из дисперсии дифракционной решётки на данном угле поворота.

[Vince Diesel]

Не будет ли подгонка точнее, если убрать точки на вертикали по центру? Они явно не так распределены, как остальные.

[mserg]

А данные можно выложить?
Есть программа автоматического подбора функции по экспериментальным данным - может найдет что-нибудь простое и точное.

[aitap]

Vince Diesel, благодарю за совет!

Теперь получилось так: $ a = (7.7 \pm 0.2)\cdot10^{-4} $; $ b = 693 \pm 1 $; $ c = 56.5 \pm 1.5 $. За исключением точек в центре пика, остатки стали выглядеть гораздо лучше, хотя некая структура у них осталась:


mserg, пожалуйста: https://paste.debian.net/1021264/

Там есть ещё пара менее интенсивных линий, для них приходится выставлять нулевые веса.