Факториал в виде разности квадратов двух простых чисел

[Ktina]

Пытаюсь проверить гипотезу о том, что каждый факториал, начиная с $4!=24$, представим в виде разности квадратов двух простых чисел.

Факториалы чисел 4 и 5 легко проверяются в уме. Далее, до числа 10 включительно, нетрудно проверить на Альфе. А затем уже сложнее. Может, есть какое-нибудь доказательство?

[worm2]

Интересная задача.
Я проверил, используя PARI/GP и изоленту, только два числа: 28 и 52, надеясь, что они дадут контрпример.
Не дали. 28! представляется более чем шестью способами, а для 52! нашлось порядка сотни вариантов. Из чего можно сделать предположение, что гипотеза верна для достаточно больших факториалов.

-- Вт апр 10, 2018 14:11:03 --

Для 16!, 18! и 20! — всего по одному представлению. Нашёл в своей программе ошибку — больше.
Возможно, где-то в этом районе притаился контрпример-другой. Не нашёлся.

[Ktina]

worm2

(Народный такой латышский праздник)

А как у нас там 11! поживает?

[yk2ru]

Сумма и разность двух простых чисел должны состоять из произведения всех сомножителей факториала, часть попадает в разность, остальная - в сумму.

[gris]

$11! =36563^2-36013^2$
Я вот тоже не вижу необходимости в глобальном переборе. Правда, я проверял не сумму и разность, а полусумму и полуразность двух дополняющих делителей факториала с учётом того, что в них не должно быть одинаковых делителей, кроме разве двоечки. В итоге надо было проверить на простоту всего 12 пар.

[worm2]

Для 11! должно перебираться 16 пар, соответствующие всем подмножествам множества $\{3, 5, 7, 11\}$.
Среди них есть ещё одно решение: $11!=7109^2-3259^2$.

[gris]

Я в начале даже единичку рассматривал, а то мало ли, объявят её простяшкой . Ведь $4! = 5^2-1^2$. Можно и четвёрку выкинуть, чтобы не полусуммы, а просто суммы рассматривать. То есть, для $11!$ такие делители: $11,7,25,81,64$. Ну да, 16 вариантов.
$7109=11\cdot 7\cdot25+81\cdot64$
В общем, для $N!$ количество пар взаимнопростых делителей равно $2^{\pi (N)-1}$ и надо проверять на простоту их суммы и разности. Можно ли тут какую-то теорию привлечь?
Вот у меня такие сугубо любительские соображения:
Рассмотрим $6!$. Необходимые нам делители: $5,9,4$. Можно сформировать четыре пары претендентов:
$(1,5\cdot9\cdot4)\to (181,179)$
$(5\cdot9,4)\to (49,41)$
$(4\cdot9,5)\to (41,31)$
$(5\cdot4,9)\to (11,29)$
В этих парах ни одно число не делится на $2,3,5$. Возможные делители: $7,11,13$. Немудрено, что в парах почти все числа, кроме $49$, простые. Если принять гипотезу, что пары формируются достаточно случайно после выполнения необходимых условий, то можно попробовать оценить количество простяшек в парах. При малых факториалах почти все претенденты проходят. При $11!$ из 16 пар проходят две. При уже исследованном $52!$ из 16 тысяч пар проходят 100. Что будет дальше? Количество пар возрастает экспоненциально, но и количество возможных делителей у претендентов растёт. Не будет ли какой убийственной асимптотики
worm2, а нет у Вас результатов для $47!, 48!,49!,50!,51!$?
Количество пар-претендентов для них будет одинаково, но эти пары будут распространяться на более широкую и более разреженную область. Если будет видно уменьшение количества нужных пар, то можно предполагать, что дополнительной таинственной связи между парами и простыми числами нет.

[worm2]

Исправленная таблица (не исключаю, что есть ещё ошибки):

47! : 147 вариантов
48! :  95
49! :  85
50! : 105
51! :  88
52! :  79
53! : 167

[worm2]

Вот тут проведено много расчётов, мои результаты теперь с ними совпадают.

[gris]

Спасибо! Неудивительно, что число простых пар у $53!$ возросло скачком после серии составных. Плотность простых уменьшилась всего на 4%, а количество пар-претендентов возросло в два раза А потом снова начнет снижаться до $58!$. Наверное, чисто по теории вероятностей Но ведь ТВ в таких делах не доказывает
Множество, откуда берутся пары, в первом приближении состоит из чисел с выкинутыми чётными, кратными трём, пяти, семи и так далее. Приближённо это чуть меньше третьей части рассматриваемого интервала. Простые числа все там, разумеется. То есть их плотность в этом множестве в три раза больше текущей плотности простых чисел в натуральных. Можно сказать, вероятность пары быть простым обратно пропорциональна квадрату логарифма середины интервала. А число пар на каждом факториале простого числа возрастает двукратно. То есть вероятность того, что нет простых пар, бешено стремится к нулю. Ну вначале можно было бы поискать контрпример к гипотезе среди факториалов чисел, стоящих в конце серии составных. А потом — увы.