Как выводится кинетическая энергия из закона Ньютона?

[tohaf]

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0 ... 0%B8%D1%8F
$\vec{F} = m \vec{a}$
$\vec{v} = \frac{d\vec{S} }{dt}$
$d\vec{S} = \vec{v} dt$
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$
Скалярно умножив второй закон Ньютона на перемещение

$$\vec{F}d\vec{S} = m \vec{a} d\vec{S} = m \vec{a} \vec{v} dt = m \frac{d\vec{v}}{dt} \vec{v} dt $$

Причем, (здесь само преобразование понятно - это производная сложной функции)

$$\frac{d (v^2) }{dt} = \frac{d (\vec{v}\vec{v}) }{dt} = \frac{2 \vec{v}d\vec{v}}{dt}$$

Получим

$$\vec{F}d\vec{S} = d(\frac{mv^2}{2})$$

Вопросы...
1. Почему нельзя написать

$$ m \frac{d\vec{v}}{dt} \vec{v} dt = m d\vec{v} \vec{v} $$

? Потому что это бессмысленно?
2. Как из

$$ \frac{d\vec{v}}{dt} \vec{v} $$

получается

$$ \frac{d(\vec{v}\vec{v}) }{dt} $$

?
3. Короче говоря, не понимаю как из

$$ m \frac{d\vec{v}}{dt} \vec{v} dt $$

с учетом вот этого

$$ \frac{2 \vec{v}d\vec{v}}{dt}$$

получается вот так

$$d(\frac{mv^2}{2})$$

[warlock66613]

tohaf в сообщении #1302114 писал(а):

Почему нельзя написать

А почему вы думаете, что так нельзя написать?

tohaf в сообщении #1302114 писал(а):

само преобразование понятно

tohaf в сообщении #1302114 писал(а):

не понимаю как

Так понятно или непонятно?

[EUgeneUS]

tohaf в сообщении #1302114 писал(а):

1. Почему нельзя написать

$$ m \frac{d\vec{v}}{dt} \vec{v} dt = m d\vec{v} \vec{v} $$

Лучше так:

$$ m \frac{d\vec{v}}{dt} \vec{v} dt = m \vec{v} d\vec{v} $$

как-то привычнее видеть бесконечно малое в конце выражения.

tohaf в сообщении #1302114 писал(а):

2. Как из

$$ \frac{d\vec{v}}{dt} \vec{v} $$

получается

$$ \frac{d(\vec{v}\vec{v}) }{dt} $$

просто продифференцируйте второе (со скалярным произведением в этом случае можно обходиться как с обычным, не забывая, что оно скалярное), получите удвоенное первое.

tohaf в сообщении #1302114 писал(а):

получается вот так

$$d(\frac{mv^2}{2})$$

$v^2 = (\vec{v}\vec{v})$

[Munin]

tohaf в сообщении #1302114 писал(а):

1. Почему нельзя написать

$$ m \frac{d\vec{v}}{dt} \vec{v} dt = m d\vec{v} \vec{v} $$

? Потому что это бессмысленно?

Можно. Но надо делать это аккуратно. Надо разбираться, к чему относится буковка $d$ - в данном случае, к одной следующей буковке:

$$m(d\vec{v})\vec{v}.$$

Ещё надо следить за тем, какие величины как друг на друга умножены. В вашем случае - одно скалярное произведение двух векторов. С векторами нельзя так свободно работать, как с числовыми одночленами, надо следить, кто на кого умножен, потому что в общем случае $\vec{a}(\vec{b}\vec{c})\ne(\vec{a}\vec{b})\vec{c}.$

tohaf в сообщении #1302114 писал(а):

2. Как из

$$ \frac{d\vec{v}}{dt} \vec{v} $$

получается

$$ \frac{d(\vec{v}\vec{v}) }{dt} $$

?

Это называется "внести под дифференциал", и по сути представляет собой операцию интегрирования. То есть, обратную операцию к операции дифференцирования. Тут нет общего правила, но если мы знаем ответ, то вот его и можем получить. А мы этот ответ знаем, для него как раз есть общее правило:

$$\dfrac{d(v^2)}{dt}=\dfrac{d(\vec{v}\vec{v})}{dt}=2\dfrac{d\vec{v}}{dt}\vec{v}.$$

[EUgeneUS]

Для ТС чуть подробнее:
$\dfrac{d(\vec{v}\vec{v})}{dt}= (\dfrac{d\vec{v}}{dt}\vec{v}) + (\vec{v}\dfrac{d\vec{v}}{dt}) $

скобки везде - скалярное произведение. Пользуясь $(\vec{a} \vec{b}) = (\vec{b} \vec{a})$, получаем то, что получаем.

[fred1996]

tohaf
$\frac{d(\vec{a}\vec{b})}{dt}=\frac{d(\sum\limits_{}^{}a_ib_i)}{dt}=\sum\limits_{}^{}\frac{da_i}{dt}b_i + \sum\limits_{}^{}a_i\frac{db_i}{dt} = (\frac{d\vec{a}}{dt}\vec{b})+(\vec{a}\frac{d\vec{b}}{dt})$
Один раз это надо проделать ручками, чтобы потом не возникало вопросов, почему так можно дифференцировать скалярные произведения. По аналогии таким же образом можно дифференцировать векторные произведения.

[tohaf]

Понял, спасибо большое.