Задача про два диска и коэффициент трения

[herard]

Помогите пожалуйста решить, задача вроде простая, а не простая!


Два диска одинаковой толщины, сделанные из одинакового материала, закреплены на параллельно расположенных стержнях, проходящих через центры дисков. Трение дисков о стержни считаем равным нулю. Стержни закреплены на раме и неподвижны относительно друг друга. Диски соприкасаются краями, коэффициент трения = $k$. Радиус первого диска -$R_1$, радиус второго -$R_2$. Начальная угловая скорость первого диска - $w_1$, начальная угловая скорость второго диска $w_2$ равна нулю. Благодаря силе трения, через какое-то время скорость вращения дисков сравняется и проскальзывания между ними не будет. Какова будет угловая скорость вращения первого диска$w_t$ в этот момент?


Решить не могу по двум причинам: не даны массы, но подозреваю что массу второго можно выразить через массу первого, т.к. толщина и материал одинаковые. Вторая причина главная: какая формула для коэффициента трения здесь применяется?

Можно ли считать что в начальный момент времени энергия системы равна $E_1$, в конечный момент - $E_t$, энергия, за время $t$ выделилось в качестве тепла от трения количество энергии $E_f$, при этом $E_t = E_1 - E_f$ ? Если да, то как рассчитать $E_f$?

Заранее спасибо!

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[photon]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: возвращено.

[EUgeneUS]

herard
Скажите, пожалуйста, что Вам известно о вращательном движении твердого тела?
Например, слова момент импульса и момент инерции Вам знакомы?

[herard]

Конечно знакомы, пытался решить задачу согласно закону сохранения момента импульса, но этот закон справедлив для замкнутых систем, то есть, задача решается не самым сложным образом при $k=1$, но проблема в том, что система не замкнутая, и из нее уходит энергия в виде тепла от трения.

-- 05.04.2018, 16:46 --

Надеюсь, что не нарушу правила, если оставлю здесь оригинал задачи на английском:

Two solid cylindrical discs, of the same thickness, made of the same material.
Each disc is attached to a rod that goes through its center. The discs can rotate
without friction around the rods. The two rods are held axed by an external
frame so the rods can not move or rotate with respect to each other. The discs
touch each other on their outer rims; the friction coefficient of the contact
between the discs is $m$ = 0,9106. Disc one has radius $R_1$ =
93,6549 cm and initial angular velocity $w_1$ = 1 rad/s. Disc two has
radius $R_2$ = 74,1641 cm and initial angular velocity $w_2$ = 0 rad/s.
Due to friction between the two discs, their angular velocities will change, until
eventually the friction force becomes zero and the angular velocities no longer
change. What will be the final angular velocity of disc one?

[amon]

herard в сообщении #1301862 писал(а):

система не замкнутая, и из нее уходит энергия в виде тепла от трения.

Уходит вместе с импульсом, или импульс на рассаду остается?

[wrest]

herard в сообщении #1301862 писал(а):

задача решается не самым сложным образом при $k=1$

И как же?

[fred1996]

herard

(подсказка)

задача решается с помощью записи уравнения вращения в дифференциальной форме и 3 закона Ньютона. К-т трения неважен. Он даже может быть не постоянным.

[herard]

wrest в сообщении #1301866 писал(а):

herard в сообщении #1301862 писал(а):

задача решается не самым сложным образом при $k=1$

И как же?

Момент импульса системы, где проскальзывания между дисками нет, равен сумме моментов импульсов первого и второго диска, а угловая скорость одна:

$J_t w_t = J_1 w_1 + J_2 w_2 = w_t (J_1 + J_2)$

далее выражаем момент инерции $J$ через массу и радиус, массу второго диска через массу первого, и подставляем в уравнение выше. В итоге массы в уравнении сокращаются, и получается $w_t$ как функция от $R_1 и R_2$. Проблема в том, что никак не используется в этой формуле коэффициент трения, то есть, получился частный случай при коэффициенте трения равным единице, когда время с начала эксперимента до момента когда проскальзывание закончилось и диски крутятся как одно целое, равно нулю. Такой ответ пока что точно неправильный.

fred1996, спасибо! только дифференциальными уравнениями сто лет не занимался, за результат далеко не уверен..

а насчет коэффициента трения это правда, что он неважен? то есть, если диски сразу прилипнут друг к другу, и если будут скользить полчаса, пока их скорость не сравняется, всё равно конечная угловая скорость системы будет одинаковой?

у меня пока что получилось вот так: $w_t (R_1^4 + R_2^4) = w_1 R_1^4$. Похоже на правду?

[EUgeneUS]

herard в сообщении #1301862 писал(а):

Конечно знакомы,

Давайте начнем с простого (все равно понадобится). Запишите, пожалуйста:
1. Условие непроскальзывания
2. Выражение момента инерции большого диска через момент инерции малого (или наоборот).

herard в сообщении #1301862 писал(а):

пытался решить задачу согласно закону сохранения момента импульса, но этот закон справедлив для замкнутых систем, то есть, задача решается не самым сложным образом при $k=1$, но проблема в том, что система не замкнутая, и из нее уходит энергия в виде тепла от трения.

1. Причем тут тепло, если речь про ЗСМИ (а не ЗСЭ)?
2. Но момент импульса тут тоже не сохраняется, нужно пользоваться подсказкой от fred1996.

-- 05.04.2018, 16:15 --

herard в сообщении #1301869 писал(а):

fred1996, спасибо! только дифференциальными уравнениями сто лет не занимался, за результат далеко не уверен..

там не нужны дифференциальные уравнения, там всё гораздо проще.

[wrest]

herard в сообщении #1301869 писал(а):

Момент импульса системы, где проскальзывания между дисками нет,

А почему вы считаете $k=1$ как "проскальзывания нет"?

-- 05.04.2018, 16:56 --

herard в сообщении #1301869 писал(а):

а угловая скорость одна:

Как это угловая скорость одна?? Если проскальзывания нет, то меньший диск будет крутиться быстрее большего, не так ли?

[herard]

даа, вот это я косякнул... ушел пересчитывать.

[wrest]

herard в сообщении #1301884 писал(а):

даа, вот это я косякнул... ушел пересчитывать.

Но может вы и правы... в английском тексте "rods held axed" вы перевели как "стержни параллельны", я честно сказать точно не знаю, может это значит "rods held coaxially", то есть "стержни соосны".
Хотя "touch each other on their outer rims" -- наверное все-таки касаются именно по образующей а не основаниями, то есть как шестеренки на картинке что я запостил.

[pogulyat_vyshel]

а теперь решите эту задачу для случая одинаковых дисков

[herard]

Для случая одинаковых дисков всё просто, конечная скорость первого диска равна половине начальной скорости.

Но тут опять вопрос о коэффициенте трения: пытаюсь представить всё физически - пусть в первом случае проскальзывания нет (время проскальзывания равно нулю, коэффициент трения равен единице), первый крутящийся диск подносим ко второму неподвижному (пусть диски одинаковые), тихонько прикасаемся - всё, диски тут же начинают вращаться с половиной от скорости первого. Во втором случае так же подносим первый диск ко второму, но при этом коэффициент трения будет близок к нулю, а время проскальзывания будет стремиться к бесконечности. Как первый диск сможет разогнать второй до половины своей начальной скорости? Чем больше время, тем больше энергии потеряет система. Может в теории не так, но моделируя в голове, прихожу к выводу что именно так.



upd: Сила трения в точке соприкосновения дисков $F_тр$ $=$ $kN$, где $k$ - коэффициент трения, а $N$ - сила сопротивления. Подскажите пожалуйста, чему равна $N$ в этом случае.