Частица в "логарифмическом колодце"

[madschumacher]

Red_Herring в сообщении #1301628 писал(а):

А кто такой T?

Это стандартное обозначение для кинетической энергии вида $ \sum_{n=1}^N \frac{p_n^2}{2m_n}$.

Red_Herring в сообщении #1301628 писал(а):

Какова размерность

Всего имеется $N$ сопряженных координат и импульсов частиц + две дополнительные координаты термостата. Это в виртуальном пространстве. В реальном, одна из доп.координат потом исчезает.

[Red_Herring]

Т.е.

$$\mathcal{H}_N = \frac{p_s^2}{2Q} + (gk\ln(s) +s^{-2})T +V, $$

где

$$T=\frac{1}{2m} \sum_{1\le n\le N}p_n^2,$$

$s>0$. Так? А кто такие $V, Q$? Но даже при $V=0$ уже здесь неясно, какое условие при $s=0$.

[madschumacher]

Red_Herring в сообщении #1301661 писал(а):

Т.е.

Ооой, я идиот.
$T$ в $gkT$ -- это температура. А кинетическая энергия отдельно. Извините за путаницу.
$V$ -- это потенциальная энергия для системы частиц. Если $s=1$ и $p_s = 0$, Гамильтониан переходит в простой Гамильтониан для системы частиц.

Про $Q$ я писал выше: это просто параметр, имеющий смысл массы для доп.степени свободы.

[Red_Herring]

Разводим $T=K$ киметическую энергию и $T$ температуру

$$\mathcal{H}_N = s^{-2}K + \frac{p_s^2}{2Q} + gkT\ln(s) + V, $$

где

$$К=\frac{1}{2m} \sum_{1\le n\le N}p_n^2,$$

$s>0$.

Но что такое $V$ число, функция от $s$ ... и какое условие при $s=0$?

[madschumacher]

Так, я наконец добрался до компьютера, и поподробнее опишу модель и задачу.
Если взять систему изолированных частиц с гамильтонианом:
$\mathcal{H} = \underbrace{ \sum_{n=1}^N \frac{p_n^2}{2 m_n} }_{E_\mathrm{kin}} + V$, то (в предположении выполнения эргодической гипотезы) среднее значение некоторой наблюдаемой $\mathcal{O}(\mathbf{r},\mathbf{p})$ ($\mathbf{r}=(r_1, r_2, \ldots, r_N)^\dagger, \ \mathbf{p}=(p_1, p_2, \ldots, p_N)^\dagger,$ -- координаты и виртуальные импульсы частиц) будет равно: $\langle \mathcal{O} \rangle_{\Gamma} = \langle \mathcal{O} \rangle_{t} = \frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} dt \mathcal{O}(\mathbf{r}(t),\mathbf{p}(t))$ (где $\langle \ldots \rangle_{\Gamma}$ обозначает усреднение по фазовому пространству с соответствующей весовой функцией) и будет являться реализацией $NVE$-ансамбля (микроканонического, т.е. модели изолированной системы). А в термодинамике людей чаще интересует замкнутая система, описываемая в виде $NVT$-ансамбля (a.k.a. канонического).

Чтобы не интегрировать по всему фазовому пространству, а обойтись всего лишь интегрированием по времени уравнений движения, но при этом получить всё равно в результате $NVT$-ансамбль, были придуманы различные термостаты -- костыли, которые пинают систему туды-сюды. Один из таких термостатов -- термостат Нозе-Хувера (Nose-Hoover).
Строится он так: дополнительная степень свободы $s>0$, масштабирующая скорости (или что эквивалентно, шаг по времени), добавляется в гамильтониан следующим макаром:
$\mathcal{H}_\mathrm{Nose} = \overbrace{ \sum_{n=1}^N \frac{p_n^2}{2 m_n s^2} + V(\mathbf{r}) + \frac{p_s}{2Q} }^{\mathcal{H}'} + V_s(s) $, где $p_s$ -- сопряжённый импульс для координаты $s$, а $Q$ -- эффективная масса новой степени свободы.
Принимается предположение об эргодичности траектории, поэтому среднее значение для наблюдаемой $\mathcal{O}$ можно записать как (с точностью до множителя $\frac{1}{Z}$, где $Z = \langle 1 \rangle$ -- статсумма):
$\langle \mathcal{O} \rangle \propto \int ds \int dp_s \int d\mathbf{r} \int d\mathbf{p} \delta(E - \mathcal{H}_\mathrm{Nose}) \mathcal{O} $.
Вводя новые импульсы $\mathbf{P} = \frac{\mathbf{p}}{s}$ (т.е. $d\mathbf{p} = s^N d\mathbf{P} \mathcal{O} $, получается следующее выражение:
$\langle \mathcal{O} \rangle \propto \int dp_s \int d\mathbf{r} \int d\mathbf{P} \mathcal{O} \underbrace{\int ds s^N \delta(E - \mathcal{H}' - V_s(s)) }_{W(\mathbf{r}, \mathbf{P}, \mathbf{p_s})} $.
Оооочень бы хотелось, чтобы эффективный вес в фазовом пространстве без координаты $s$ был бы обычным больцмановским весом:
$W(\mathbf{r}, \mathbf{P}, \mathbf{p_s}) \propto \exp(\frac{E -\mathcal{H}' }{kT})$, где $T$ -- температура (степень свободы $p_s$ никому жизнь не портит, т.к. в $\mathcal{O}$ её нет, поэтому она исчезнет при делении на $Z$). Тогда, используя свойство $\delta$-функции: $\int dx \delta(x-\tilde{x}) f(x) = f(\tilde{x})$, получаем уравнение:
$W(E - \mathcal{H}') = \int ds \delta(E - \mathcal{H}' - V_s(s)) s^N = \int f(V_s) dV_s \delta(E - \mathcal{H}' - V_s) \propto \exp(\frac{E -\mathcal{H}' }{kT}) $.
Из этого следует, что мы можем взять $f(V_s) = \exp(\frac{V_s}{kT})$, т.е.
$ \int ds \delta(E - \mathcal{H}' - V_s(s)) s^N = \int dV_s \exp(\frac{V_s}{kT}) \delta(E - \mathcal{H}' - V_s)$, т.е.
$s^N ds = \exp(\frac{V_s}{kT}) dV_s \ \ \Rightarrow \int_{0}^s \tilde{s}^N d\tilde{s} = \int_{-\infty}^{V_s} \exp(\frac{\tilde{V_s}}{kT}) d\tilde{V_s}$
Итого:
$kT \exp(\frac{V_s}{kT}) = s^{N+1} $, т.е. $V_s(s) = \underbrace{(N+1)}_{g} kT \ln(s) + \operatorname{const}$.

Поэтому предполагаю, что если пытаться квантовать остаток гамильтониана $\mathcal{H}_s = \frac{p_s^2}{2Q} + gkT \ln(s)$, логично наложить условие $\psi(s=0) = 0$, т.к. вероятность полной "остановки" системы за счёт зануления $s$ должна быть в точности нулём.

Red_Herring в сообщении #1301693 писал(а):

Но что такое V число, функция от s ...?

т.е. $V=V(\mathbf{r})$, т.к. $s$ присоединена к системе только через изменение $E_\mathrm{kin} = K$.

[Red_Herring]

madschumacher
Тогда все, что мы обсуждали не по делу. Прежде всего надо найти нижнее с.з. $\lambda(s)$ оператора

$$s^{-2}\sum \frac{p_n^2}{2m}+V(\mathbf{r}).$$

И тогда по $s$ у нас будет оператор

$$ \frac{p_s^2}{2Q} + (k\ln (s)+\lambda(s)). $$

И тут дьявол в деталях. Рассмотрю примеры

а. $V(\mathbf{r})=0$, но частицы в прямоугольном ящике. Тогда $\lambda(s)=c^2s^{-2}$ и Ваш потенциал вблизи $s=0$ никакой нафиг не логарифмический притягивающий, а очень даже сильно отталкивающий за счет $cs^{-2}$. И в любом решении ведущий член будет $s^{\pm\kappa}$, где $\kappa >0$ легко посчитать. Но $s^{-\kappa}$ надо отвергнуть, поскольку оператор определяется через формы, и $\psi'\motin L^2$. T.e. $\psi(0)=0$ автоматом (т.е. об условии думать не надо).

b. $V(\mathbf{r})=0$, но частицы в в прямоугольном ящике, только граничные значения такие, что $\lambda(s)=0$. Ну тогда действительно логарифмический притягивающий. И надо думать о граничном условии.

c. $V(\mathbf{r})=\mathbf{r}^2$. Тогда $\lambda(s)=cs^{-1}$ и Ваш потенциал вблизи $s=0$ никакой нафиг не логарифмический притягивающий, а отталкивающий за счет $cs^{-1}$. Но тогда опять $\psi(0)=0$ автоматом (т.е. об условии думать не надо).

[Red_Herring]

Несколько натянутая аналогия. Солнце притягивает космический корабль, потенциал $-r^{-1}Mm$. Но если мы отделим угловую составляющую движения, то эффективный потенциал станет $\frac{1}{2m}r^{-2}J^2 -r^{-1}Mm$, где $J$ угловой момент. Т.е. вблизи себя Солнце "отталкивает" космический корабль и весьма сильно.