Найти предел частного интегралов

[nortonouls]

Само задание:
$\lim\limits_{x \to +0} \frac{\int\limits^{x}_{x^2}t^{t+1}dt}{\int\limits^{x}_{x^3}(t+1)^t dt}$
Вот такую задачу дали в расчётном задании. Помогите, пожалуйста, ибо даже в принципе не очень представляю как это делать. Просто тупо считать интегралы бесполезно - они же не берутся.
При взгляде возникла идея как-то использовать основную теорему матана. Но как это применить здесь, ведь тут оба предела интегрирования - переменные? Хотя выглядит красиво - применить правило Лопиталя, взять производные от числителя и знаменателя, но как? Или тут вообще нужно подходить с какой-то другой стороны?

[wrest]

nortonouls
Ну а чему равен определенный интеграл?
$\int \limits_a^b f(x)dx = ?$
Ньютон, Лейбниц...

[Dan B-Yallay]

nortonouls в сообщении #1301507 писал(а):

применить правило Лопиталя, взять производные от числителя и знаменателя, но как?

https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule

[nortonouls]

Dan B-Yallay в сообщении #1301512 писал(а):

nortonouls в сообщении #1301507 писал(а):

применить правило Лопиталя, взять производные от числителя и знаменателя, но как?

https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule

Спасибо! Дело сдвинулось с мёртвой точки. Считаем производные:
$\frac{d}{dt} \left(\int\limits^{x}_{x^2} t^{t+1}dt \right)= \int\limits^{x}_{x^2} \frac{\partial}{\partial x}(t^{t+1})dt+ x^{x+1} \cdot 1 - (x^2)^{x^2+1} \cdot 2x =x-x^2+x^{x+1}-2x^{2x^2+3}$
И знаменатель:
$\frac{d}{dt} \left(\int\limits^{x}_{x^3} (t+1)^tdt \right)= \int\limits^{x}_{x^3} \frac{\partial}{\partial x}\left((t+1)^t\right)dt+(x+1)^x \cdot 1-(x^3+1)^{x^3}\cdot 3x^2=x-x^3+(x+1)^x-(x^3+1)^{x^3} \cdot 3x^2$

Проверьте, пожалуйста, я правильно сделал??

Над чем работать дальше? Там ведь в пределе уже неопределённость будет, судя по всему

[mihaild]

nortonouls в сообщении #1301527 писал(а):

$\frac{d}{dt} \left(\int\limits^{x}_{x^2} t^{t+1}dt \right)= \int\limits^{x}_{x^2} \frac{\partial}{\partial x}(t^{t+1})dt+ x^{x+1} \cdot 1 - (x^2)^{x^2+1} \cdot 2x =x-x^2+x^{x+1}-2x^{2x^2+3}$

А почему производная по $t$ слева? (опечатка?)
Кажется $\frac{\partial}{\partial x} t^{t+1}$ вычислено неправильно...

[nortonouls]

mihaild в сообщении #1301528 писал(а):

nortonouls в сообщении #1301527 писал(а):

$\frac{d}{dt} \left(\int\limits^{x}_{x^2} t^{t+1}dt \right)= \int\limits^{x}_{x^2} \frac{\partial}{\partial x}(t^{t+1})dt+ x^{x+1} \cdot 1 - (x^2)^{x^2+1} \cdot 2x =x-x^2+x^{x+1}-2x^{2x^2+3}$

А почему производная по $t$ слева? (опечатка?)

Да, там должно быть $x$, спасибо.

mihaild в сообщении #1301528 писал(а):

Кажется $\frac{\partial}{\partial x} t^{t+1}$ вычислено неправильно...

Почему? Ведь выражение не содержит $x$, а только $t$, значит, частная производная по $x$ обнуляется, нет?

[mihaild]

nortonouls в сообщении #1301529 писал(а):

Почему? Ведь выражение не содержит $x$, а только $t$, значит, частная производная по $x$ обнуляется, нет?

Правильно. А чему равен $\int\limits_{x^2}^x 0 dt$? Откуда $x - x^2$ в последнем выражении взялось?

[nortonouls]

mihaild в сообщении #1301530 писал(а):

nortonouls в сообщении #1301529 писал(а):

Почему? Ведь выражение не содержит $x$, а только $t$, значит, частная производная по $x$ обнуляется, нет?

Правильно. А чему равен $\int\limits_{x^2}^x 0 dt$? Откуда $x - x^2$ в последнем выражении взялось?

Всё, понял, я зачем-то пределы интегрирования вместо константы подставлял. Тогда:
$ \frac{d}{dt} \left(\int\limits^{x}_{x^2} t^{t+1}dt \right)= \int\limits^{x}_{x^2} \frac{\partial}{\partial x}(t^{t+1})dt+ x^{x+1} \cdot 1 - (x^2)^{x^2+1} \cdot 2x=x^{x+1}-2x^{2x^2+3} $


$ \frac{d}{dt} \left(\int\limits^{x}_{x^3} (t+1)^tdt \right)= \int\limits^{x}_{x^3} \frac{\partial}{\partial x}\left((t+1)^t\right)dt+(x+1)^x \cdot 1-(x^3+1)^{x^3}\cdot 3x^2=(x+1)^x-(x^3+1)^{x^3} \cdot 3x^2 $

[nortonouls]

Теперь правильно? Подскажите, пожалуйста, что дальше? Там ведь опять неопределённость в пределе. Лопиталить дальше? По-моему, это можно тут до бесконечности делать

[wrest]

nortonouls в сообщении #1301545 писал(а):

По-моему, это можно тут до бесконечности делать

Из того что у вас получилось, знаменатель $(x+1)^x-(x^3+1)^{x^3} \cdot 3x^2$ не стремится ни к нулю ни к бесконечности при $x \to +0$

[nortonouls]

wrest в сообщении #1301549 писал(а):

nortonouls в сообщении #1301545 писал(а):

По-моему, это можно тут до бесконечности делать

Из того что у вас получилось, знаменатель $(x+1)^x-(x^3+1)^{x^3} \cdot 3x^2$ не стремится ни к нулю ни к бесконечности при $x \to +0$

Да, спасибо, исправляюсь:
$\lim\limits_{x \to +0} \frac{x^{x+1}-2x^{2x^2+3}}{(x+1)^x-(x^3+1)^{x^3} \cdot 3 x^2}=\frac0{1}=0$
Так что ли? Что-то как-то слишком всё просто. А к чему тут $+0$ тогда?

[wrest]

nortonouls в сообщении #1301619 писал(а):

А к чему тут $+0$ тогда?

Ну дык подставьте, скажем, $x=-0,1$ в $x^{x+1}-2x^{2x^2+3}$ -- что калькулятор вам говорит?
Ну или подставьте минус ноль в "числительный" интеграл $\int\limits^{x}_{x^2}t^{t+1}dt$, чему будет равна подынтегральная функция например при $t=-0,1$?

[nortonouls]

wrest в сообщении #1301631 писал(а):

nortonouls в сообщении #1301619 писал(а):

А к чему тут $+0$ тогда?

Ну дык подставьте, скажем, $x=-0,1$ в $x^{x+1}-2x^{2x^2+3}$ -- что калькулятор вам говорит?
Ну или подставьте минус ноль в "числительный" интеграл $\int\limits^{x}_{x^2}t^{t+1}dt$, чему будет равна подынтегральная функция например при $t=-0,1$?

Вот это да. Вы мне прямо глаза на мир открыли с:
Спасибо всем, если тут всё правда правильно теперь, то, думаю, тему можно закрывать