Групповое кольцо и числа Гаусса

[rishelie]

Привет
Что-то я запутался в определениях, т.к. не знаток алгебры, увы.
Вот есть у нас такое понятие как групповое кольцо. Это --- набор символических записей (с теоретико-множественной точки зрения --- векторов) вида

$$ a_1g_1+\dots+a_ng_n, $$

где $a_i$ --- элементы некоторого кольца (например, целых чисел), а $G=\{g_1,\dots,g_n\}$ --- конечная группа.
Операции сложения и умножения вводятся естественным путем (как при построении расширений поля $\mathbb Q$).

Если теперь вспомнить про числа Гаусса, числа Эйзенштейна и кватернионы, то очень хочется построить их как групповое кольцо, причем в первом случае группой будет $\{\pm 1,\pm i\}$, во втором --- $\{\pm 1,\pm \omega,\pm \omega^2\}$ $(\omega = e^{2\pi i/3})$, в третьем --- $\{\pm 1,\pm i,\pm j, \pm k \}$.

Но проблема в том, что базисом группового кольца является вся группа $G$, а для перечисленных числовых систем это далеко не так. Например, в гауссовых числах базисом будет пара векторов 1 и i, которая и подгруппу-то не образует в $G$.

PS. Кстати, wiki ссылается на Ван дер Вардена, но там про групповое кольцо всего лишь одна строчка. Хотелось бы иметь более развернутое описание и понимание того, действительно ли это похожие структуры.

Можно ли взять группу четного порядка, выделить в ней подгруппу $\{e,-e\}$ (минус я тут приписываю чисто символически, но с намеком), затем с ее помощью определить линейную зависимость остальных элементов, а затем получить кольцо с целыми коэффициентами, в котором элементы данной группы будут обратимыми, и только они (как элементы соответствующих групп в числах Гаусса и Эйзенштейна).

[lek]

Нельзя отождествлять знаки $+$ в первом и последующих выражениях. Разумнее ввести центральный элемент $\varepsilon\equiv-1$ и вообще не использовать знаки $\pm$ в этих группах.

[g______d]

rishelie в сообщении #1301368 писал(а):

очень хочется построить их как групповое кольцо

А они вообще являются групповыми кольцами?

rishelie в сообщении #1301368 писал(а):

Вот есть у нас такое понятие как групповое кольцо. Это --- набор символических записей

Лучше более честно. Это алгебра над таким-то кольцом (тем, которому принадлежат $a_i$), с такими-то образующими (элементы группы) и такими-то соотношениями (все мультипликативные соотношения из группы).

[grizzly]

rishelie в сообщении #1301368 писал(а):

кватернионы, то очень хочется построить их как групповое кольцо
...
Кстати, wiki

А Вы перейдите на англовики и посмотрите пример 3 в разделе Examples (там особый английский не нужен, гуглоперевода за глаза хватит). Как раз в этом примере объясняют, чем групповое кольцо, построенное на кватернионах отличается от, собственно, их алгебры.

[rishelie]

grizzly в сообщении #1301494 писал(а):

А Вы перейдите на англовики и посмотрите пример 3 в разделе Examples (там особый английский не нужен, гуглоперевода за глаза хватит). Как раз в этом примере объясняют, чем групповое кольцо, построенное на кватернионах отличается от, собственно, их алгебры.

ох, да, слона-то я и не приметил)
тем не мене, остается неясным, если все-таки построить групповое кольцо над четной группой и затем принять некоторые "additional relations", то можно ли получить дальнейшие обобщения целых чисел?
Или это выведет в конце-концов на противоречие с теоремой Понтрягина (ну т.е. где целые, там и Q[ ], а где Q, там и непрерывное поле, а дальше уже до теоремы Понтрягина о локально-компактных связных телах рукой подать)?