2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Групповое кольцо и числа Гаусса
Сообщение03.04.2018, 10:25 
Аватара пользователя


12/03/08
191
Москва
Привет
Что-то я запутался в определениях, т.к. не знаток алгебры, увы.
Вот есть у нас такое понятие как групповое кольцо. Это --- набор символических записей (с теоретико-множественной точки зрения --- векторов) вида
$$
a_1g_1+\dots+a_ng_n,
$$
где $a_i$ --- элементы некоторого кольца (например, целых чисел), а $G=\{g_1,\dots,g_n\}$ --- конечная группа.
Операции сложения и умножения вводятся естественным путем (как при построении расширений поля $\mathbb Q$).

Если теперь вспомнить про числа Гаусса, числа Эйзенштейна и кватернионы, то очень хочется построить их как групповое кольцо, причем в первом случае группой будет $\{\pm 1,\pm i\}$, во втором --- $\{\pm 1,\pm \omega,\pm \omega^2\}$ $(\omega = e^{2\pi i/3})$, в третьем --- $\{\pm 1,\pm i,\pm j, \pm k \}$.

Но проблема в том, что базисом группового кольца является вся группа $G$, а для перечисленных числовых систем это далеко не так. Например, в гауссовых числах базисом будет пара векторов 1 и i, которая и подгруппу-то не образует в $G$.

PS. Кстати, wiki ссылается на Ван дер Вардена, но там про групповое кольцо всего лишь одна строчка. Хотелось бы иметь более развернутое описание и понимание того, действительно ли это похожие структуры.

Можно ли взять группу четного порядка, выделить в ней подгруппу $\{e,-e\}$ (минус я тут приписываю чисто символически, но с намеком), затем с ее помощью определить линейную зависимость остальных элементов, а затем получить кольцо с целыми коэффициентами, в котором элементы данной группы будут обратимыми, и только они (как элементы соответствующих групп в числах Гаусса и Эйзенштейна).

 Профиль  
                  
 
 Re: Групповое кольцо и числа Гаусса
Сообщение03.04.2018, 19:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
878
Нельзя отождествлять знаки $+$ в первом и последующих выражениях. Разумнее ввести центральный элемент $\varepsilon\equiv-1$ и вообще не использовать знаки $\pm$ в этих группах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Групповое кольцо и числа Гаусса
Сообщение03.04.2018, 19:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
rishelie в сообщении #1301368 писал(а):
очень хочется построить их как групповое кольцо


А они вообще являются групповыми кольцами?

rishelie в сообщении #1301368 писал(а):
Вот есть у нас такое понятие как групповое кольцо. Это --- набор символических записей


Лучше более честно. Это алгебра над таким-то кольцом (тем, которому принадлежат $a_i$), с такими-то образующими (элементы группы) и такими-то соотношениями (все мультипликативные соотношения из группы).

 Профиль  
                  
 
 Re: Групповое кольцо и числа Гаусса
Сообщение03.04.2018, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
rishelie в сообщении #1301368 писал(а):
кватернионы, то очень хочется построить их как групповое кольцо
...
Кстати, wiki
А Вы перейдите на англовики и посмотрите пример 3 в разделе Examples (там особый английский не нужен, гуглоперевода за глаза хватит). Как раз в этом примере объясняют, чем групповое кольцо, построенное на кватернионах отличается от, собственно, их алгебры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Групповое кольцо и числа Гаусса
Сообщение03.04.2018, 21:10 
Аватара пользователя


12/03/08
191
Москва
grizzly в сообщении #1301494 писал(а):
А Вы перейдите на англовики и посмотрите пример 3 в разделе Examples (там особый английский не нужен, гуглоперевода за глаза хватит). Как раз в этом примере объясняют, чем групповое кольцо, построенное на кватернионах отличается от, собственно, их алгебры.


ох, да, слона-то я и не приметил)
тем не мене, остается неясным, если все-таки построить групповое кольцо над четной группой и затем принять некоторые "additional relations", то можно ли получить дальнейшие обобщения целых чисел?
Или это выведет в конце-концов на противоречие с теоремой Понтрягина (ну т.е. где целые, там и Q[ ], а где Q, там и непрерывное поле, а дальше уже до теоремы Понтрягина о локально-компактных связных телах рукой подать)?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: B@R5uk


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group