ДПФ-спектр на равномерной сетке периодов

[_hum_]

Дискретное преобразование Фурье предполагает расчет спектра на равномерной частотной сетке. А как поступают в случае, когда требуется получить спектр на равномерной шкале периодов? Мне в голову приходит только интерполяция...

Спасибо.

[bondkim137]

Не очень понял - если сигнал у вас дан в виде функции амплитуды, а спектр нужно получить как функцию от длины волны, что вам мешает вычислить частоту по длине волны и подставить в свертку?

[arseniiv]

Получится неравномерный набор отсчётов $1/f, 1/2f, \ldots$, где $f$ — частота дискретизации.

(Оффтоп)

Длине волны соответствует пространственная частота, тут она никак не упоминается.

_hum_
Я хотел написать какую-то вещь, когда тема появилась, но подумал, что напишут что-то получше. Раз так пока и не написали: для функции из $\mathbb Z_n$ ДПФ даёт в некотором смысле полную и неизбыточную информацию, так что что угодно (связанное со спектром) должно быть можно получить из ДПФ — другое дело, насколько это эффективно делать именно через вычисление ДПФ и потом манипуляции с ним. (И третье дело, что, может быть, так же можно обойти требуемое здесь представление в виде набора амплитуд для равномерно отстоящих периодов и не трогать его вообще.)

Если надо вычислять характеристики сигнала онлайн, а набор интересующих периодов известен заранее, может, просто сделать банк фильтров.

[bondkim137]

Не, я подумал - что функция дана как обычно, с одинаковым шагом по времени, а спектр хочется получить не в виде дискретной функции от частоты с одинаковым шагом, а в виде функции от периода с одинаковым шагом. С восстановлением будут проблемы, но если восстанавливать не надо (для аналитики, например) - вполне себе.

[arseniiv]

bondkim137 в сообщении #1300145 писал(а):

Не, я подумал - что функция дана как обычно, с одинаковым шагом по времени, а спектр хочется получить не в виде дискретной функции от частоты с одинаковым шагом, а в виде функции от периода с одинаковым шагом.

А, тогда мы совершенно одинаково подумали.

В любом случае, останется вопрос, какое преобразование из обычного ДПФ более «правильное». Могут найтись аргументы против интерполяции, да и сама интерполяция бывает разная. И тут для общего случая я немедленно остановлюсь и не буду пытаться изобретать велосипед.

[_hum_]

arseniiv, bondkim137

Не совсем понял. Вы предлагаете просто провести вычисление дискретно-непрерывного преобразования Фурье типа $F(\omega) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}f(k\Delta t)e^{-i \omega k\Delta t} $ на нужной частоте $\omega$? Если да, то разве ж оно даст нужное значение? Например, для единичного дискретизированного сигнала с числом отсчетов $N$ соответствующая сумма будет $F(\omega) = \sum_{k=0}^{N}e^{-i \omega k\Delta t} $, которая сможет давать "правильные" нулевые значения спектра только для $\omega$ при которых происходит целочисленное вложение колебаний на отрезке $[0, N\Delta t]$. Для остальных она будет давать результат в предположении, что сигнал продолжается за пределы области определения как нулевой - то есть, фактически будет проводиться zero-padding interpolation (причем, еще и для разных частот - разная).

[arseniiv]

Я не предполагаю делать такое преобразование и я вообще не знаю, как определить, что есть

_hum_ в сообщении #1300524 писал(а):

нужное значение

потому что вы совершенно правильно замечаете, что непрерывное продолжение данной дискретизованной функции не единственно, и амплитуды частот, не входящих в набор, выдаваемый ДПФ, соответственно, могут быть тоже разными.

Можно рассмотреть такой случай: пусть мы хотим, чтобы спектр непрерывного продолжения получался из спектра дискретного сигнала* свёрткой его с какой-то достаточно для нас гладкой функцией $h$. Понятно, по теореме о свёртке сигнал умножится на $\mathcal F^{-1}h$. То есть единственное, что мы получили — это применение окна; для случая линейной интерполяции (свёртки с прямоугольником ширины, равной расстоянию между соседними пиками дельта-функций в спектре) окно будет широким таким sinc’ом, уменьшающим важность значений сигнала по краям. Если эта интерпретация вас устраивает, можно линейно интерполировать амплитуды тех частот, про которые не говорит ДПФ. Если нет, надо подумать о каком-то более хитром преобразовании сигнала/спектра.

* Который представим в виде периодической линейной комбинации дельта-функций — тогда не надо нигде заменять интегрирование суммированием, хоть нам и придётся рассматривать обобщённые функции. Тогда спектр тоже будет представлять собой сумму дельт.

Но банк фильтров точно никак не подойдёт? Делаете по фильтру для выделения каждой интересующей полосы частот, подаёте им сигнал, что-то делаете с откликами. Если сигнал достаточно длиннее, чем интересующее количество полос, это должно быть не очень неразумно.

_hum_ в сообщении #1300524 писал(а):

Для остальных она будет давать результат в предположении, что сигнал продолжается за пределы области определения как нулевой - то есть, фактически будет проводиться zero-padding interpolation (причем, еще и для разных частот - разная).

Значит, слава Диэдру, что я слышу про это дискретно-непрерывное преобразование впервые. Его математический смысл действительно какой-то странный.

[_hum_]

arseniiv

Вроде бы окончательно теперь осознал, что мою проблему принципиально нельзя решить без дополнительной информации о сигнале, а значит, тем или иным образом придется строить интерполяцию.

(С учетом сказанного, не совсем понятно, чем банк фильтров в такой ситуации будет выгоднее?)

arseniiv в сообщении #1300532 писал(а):

Значит, слава Диэдру, что я слышу про это дискретно-непрерывное преобразование впервые. Его математический смысл действительно какой-то странный.

не, само по себе дискретно-непрерывное преобразование Фурье - нормальная штука, дающая непрерывный спектр бесконечного по длительности дискретного по времени сигнала (см. wiki/Discrete-time_Fourier_transform). Другое дело, что использование его в данном случае не дает видимой выгоды, поскольку предполагает нулевое продолжение исходного сигнала на всю временную ось (то есть, в конечном итоге, все равно приводит к интерполяции).

[arseniiv]

Там по ссылке нормальное ДПФ, а я как-то не так прочитал.

_hum_ в сообщении #1300544 писал(а):

(С учетом сказанного, не совсем понятно, чем банк фильтров в такой ситуации будет выгоднее?)

Со стороны реализации, если соответствующая ему математика будет сочтена подходящей. Фильтры, конечно, тоже можно разные брать, так что необходимость выбора никуда не пропадает.

[bondkim137]

_hum_, а для чего оно вам нужно?
Можно еще окном сгладить (точнее плавно занулить) края. Я так баловался немного некоторое время назад.
Вот тут визуализированный спектр экспоненциальную шкалу имеет (линейную по октавам), кликабельно.

[_hum_]

arseniiv в сообщении #1300548 писал(а):

Там по ссылке нормальное ДПФ, а я как-то не так прочитал.

по ссылке там DTFT, которое не совпадает с тем, что обычно понимается под "нормальным ДПФ" (DFT) :).

bondkim137 в сообщении #1300598 писал(а):

_hum_, а для чего оно вам нужно?

это из раздела анализа сейсмических сигналов - по периоду анализируется толщина пласта.

bondkim137 в сообщении #1300598 писал(а):

Можно еще окном сгладить (точнее плавно занулить) края.

да, это само собой.
остановился на варианте с DTFT как наиболее естественном варианте интерполяции.

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #1301400 писал(а):

по ссылке там DTFT, которое не совпадает с тем, что обычно понимается под "нормальным ДПФ" (DFT
) :).

Ну, есть ведь, грубо говоря, четыре вида преобразования Фурье:

$$\mathbb C^{\mathbb R}\to\mathbb C^{\mathbb R},\quad \mathbb C^{\mathbb Z_n}\to\mathbb C^{\mathbb Z_n},\quad \mathbb C^{\mathbb Z}\to \mathbb C^S,\quad \mathbb C^S\to\mathbb C^{\mathbb Z}$$

(где $S$ — окружность с выделенной точкой 0 на ней). Я как-то не вижу особых проблем называть и второе, и третье ДПФ, потому что носитель исходной функции дискретный. Наверно, я делаю неправильно. В принципе, я их про себя вообще никак не зову, это только в этой теме проявилось.

[_hum_]

arseniiv
с точки зрения математики, конечно, все равно, что чем называть. А вот с точки зрения приложений все-таки важно, ведь в большинстве случаев ДПФ используется, исходя из логики, что это дискретизованная версия ПФ - в том смысле, что исходный сигнал ДПФ - дискретизованная версия сигнала для ПФ, а дискретный спектр ДПФ - дискретизованная версия непрерывного спектра ПФ. Потому, например, как у меня, могут вознкиать вопросы наподобие - если я вместо DFT будут использовать DTFT, то получу ли я отсчеты спектра FT, или это будет какой-то совсем другой спектр.

[arseniiv]

Ну, и второе, и третье преобразования можно выразить через первое от обобщённых функций, где вместо отсчётов стратегически расставленные дельты. Остаётся только получить эти дельты из непрерывной функции выбранной процедурой дискретизации — и связь получается однозначной. И ответ на вопрос, насколько третье преобразование будет уместным. Тем более что бесконечные сигналы на практике не попадаются, и всегда дело сводится от третьего ко второму преобразованию.

[_hum_]

arseniiv в сообщении #1301485 писал(а):

Ну, и второе, и третье преобразования можно выразить через первое от обобщённых функций, где вместо отсчётов стратегически расставленные дельты. Остаётся только получить эти дельты из непрерывной функции выбранной процедурой дискретизации — и связь получается однозначной.

это все не так очевидно, и надо потрудиться, чтобы вывести (даже выделили в отдельный результат требуемую в промежуточных выкладках формулу - Poisson summation formula).