Уравнение с 2 переменными.

[MOHCTEP]

Здоровья всем!
Возможно ли препарировать выражение
$z^y_x={(y+3x)^2}-{9x}^2-x$
так, чтобы, при известном $z^y_x$, вычислить пары целочисленных $(x,y)$, если они имеются?
У меня получилось преобразовать так:
$z^y_x=y^2+6xy-x$ или $y^2+6xy-x-z^y_x=0$
Здесь, если принять $x$ за некую константу, вроде получается квадратное уравнение. Дальше - тьма.
Есть фрагмент таблицы (на бумаге, к сожалению), со значениями $z^y_x$. Оттуда, к примеру, значению 141 соответствуют пары: (4,5), (3,6), (-5,4).
Последняя пара верна, только если брать модуль произведения, который никак не выявляется в исходном выражении. Как тут решить?
$z^y_x=y^2+|6xy|-x$

[Someone]

MOHCTEP в сообщении #1299563 писал(а):

Последняя пара верна, только если брать модуль произведения,

то есть, попросту неверна.

[MOHCTEP]

Someone соглашусь.

[Vince Diesel]

Это называется диофантово уравнение. Есть какие-то алгоритмы для решения некоторых видов уравнений. Как решать конкретно это не знаю. Может, попробовать выразить $x$? Тогда будет зависимость без корней. Математика же дает такой список решений для $141$:

$$ \left( \begin{array}{cc} -141 & 0 \\ -141 & 846 \\ -20 & -1 \\ -20 & 121 \\ -5 & -4 \\ -5 & 34 \\ 3 & -24 \\ 3 & 6 \\ 4 & -29 \\ 4 & 5 \\ 28 & -169 \\ 28 & 1 \\ \end{array} \right). $$

Так что, вероятно, есть какой-то алгоритм систематически найти все решения, раз математика это умеет

[MOHCTEP]

Спасибо Вам, добрый человек! Теперь хоть знаю о чем (и о ком) гугл пытать.

[bot]

Препарировать надо $36z-1$:

$y^2+6xy-x=z\, \Longleftrightarrow\, (6y+36x+1)(6y-1)=36z-1.$

[MOHCTEP]

bot прошу извинить мой дилетантизм, но:
1 Как Вы вышли к этому выражению?
2 Оно выглядит "страшнее" даже исходного, на первовзгляд. Даже при условии, что $z$, а значит и $36z-1$ - известно, я не пойму, как его применить?

[Someone]

Если я не ошибаюсь, Вы ведь целочисленные решения ищете? Из этого и исходите.

[MOHCTEP]

Someone, оно так. Благодаря подсказке уважаемого Vince Diesel, я хоть узнал, что почитать по теме, однако в понимании алгоритма продвинулся не очень.

[Someone]

Ну, дык, число справа представлено как произведение двух чисел. Значит, что такое есть эти числа по отношению к числу справа?

[MOHCTEP]

Делители, вероятно?
Завтра (сегодня уже) вечером помудрю. Спасибо!

[MOHCTEP]

Так правильно?
$36x=\frac{36z-1}{6y-1}-(6y+1)=\frac{36z -36y^2}{6y-1}$
$x=\frac{z -y^2}{6y-1}$

[bot]

Правильно то правильно, но Вы вернулись в самое начало, а мою подсказку умножили на ноль.
Раскладывать надо $36z-1$ на какие-то множители, да ещё определённого вида.
Как только разложение получено, без труда найдутся $y$ и $x$.

[MOHCTEP]

bot в сообщении #1301543 писал(а):

Вы вернулись в самое начало

Футыж - точно ведь... Прошу прощения. Видимо мой уровень владения предметом недостаточен для решения задачи. Подсказки-то Ваши, в целом, понятны. Попытаюсь их применить, если получится. Спасибо!

[bot]

Вы, верно, хотите получить решение в виде формулы, как в квадратном уравнении?
Ну возьмите конкретное небольшое $z$, скажем $z=1$ и руками найдите все решения или возьмите уравнение попроще, скажем такое $(3y-1)(x+3y+1)=9z-1$, где для начала $z=1,-1,...$ или ещё проще $(x-y)(x+y)=1000.$