Два куба одновременно?

[Ktina]

Докажите, что для любого натурального числа $n$, числа $n$ и $n^2+6n+12$ не могут быть одновременно кубами двух натуральных чисел.

[mihaild]

Пусть $n = k^3$. Тогда $n^2 + 6n + 12 = k^6 + 6k^2 + 12$. Т.к. это число больше чем $(k^2)^3$, то чтобы оно было кубом, нужно чтобы оно было не меньше чем $(k^2 + 1)^3$.
$(k^2 + 1)^3 \leqslant k^6 + 6k^2 + 12$
$k^3(k - 2) \leqslant 12$
$k \leqslant 2$
Непосредственно проверяется, что $k = 1$ и $k = 2$ не подходят.

[Ktina]

mihaild
Большое спасибо!