Допускает ли язык логики противоречивые утверждения?

[newtonisa]

warlock66613
И, кажется, этот Вавилов вообще не понял суть вопроса. Парадокс возникает не оттого, что канторовская система допускает или не допускает то что Вы сказали -- эту "заранее известность", а оттого, что в аксиоматизации Фреге заявляется существования множеств, построенных по любому произвольному свойству, если такая аксиома действительно существует, конечно.

-- 03.04.2018, 00:23 --

warlock66613 в сообщении #1301301 писал(а):

Вопрос в том, является ли эта совокупность множеством

То есть, по мнению господина Вавилова расселовский объект может существовать в виде "совокупности"? Переклейкой ярлыка вопрос решается?

[warlock66613]

newtonisa в сообщении #1301302 писал(а):

оттого, что в аксиоматизации Фреге заявляется существования множеств, построенных по любому произвольному свойству, если такая аксиома действительно существует, конечно

Речь идё о том, что акисоматизация Фреге является плохой аксиоматизацией хорошей теории. В этой хорошей теории - наивной теории множеств - парадоксов нет, а в аксиоматизации Фреге - есть.

[newtonisa]

warlock66613 в сообщении #1301304 писал(а):

Речь идё о том, что акисоматизация Фреге является плохой аксиоматизацией хорошей теории. В этой хорошей теории - наивной теории множеств - парадоксов нет, а в аксиоматизации Фреге - есть.

А при чем тут то, что "для каждого элемента заранее известно вхождение"?

[mihaild]

newtonisa в сообщении #1301302 писал(а):

Переклейкой ярлыка вопрос решается?

Не переклейкой языка. Мы рассматриваем совокупность всех множеств. А говорить о "совокупности совокупностей" уже нельзя - элементом совокупности может быть не всякая совокупность, а только являющаяся множеством.
(по крайней мере так в $NBG$, если под "совокупностью" понимать "класс")
Ну и оказывается, что класс всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента, существует, но является собственным классом. Как собственный класс он, конечно, себе не принадлежит (он вообще никакому классу не принадлежит), но это ничему не противоречит, т.к. он не является множеством.

Впрочем, я перестал понимать, какой вопрос предлагается обсудить. Какие есть формализации неформальной наивной теории множеств? Какую формализацию предлагал Фреге? Что-то еще?

[Someone]

newtonisa в сообщении #1301302 писал(а):

То есть, по мнению господина Вавилова расселовский объект может существовать в виде "совокупности"? Переклейкой ярлыка вопрос решается?

Ага. Такие совокупности, не являющиеся множествами (обычно они называются классами), можно рассматривать в обычной ZFC, несколько расширив её язык. И даже существует специальная теория (NBG), в которой основным понятием является именно класс, а множество — производное понятие. Самое интересное, что для некоторых областей математики понятие множества является слишком ограничительным, и классы появляются совершенно естественно.

[newtonisa]

mihaild в сообщении #1301315 писал(а):

какой вопрос предлагается обсудить

В данный момент обсуждаем позицию Вавилова.
То что Вы тут про классы говорите, это выходит за рамки, потому что в наивной ТМ нет никаких классов. И позици Вавилова по вопросу Вы не раскрыли, просто перескачили в другую систему. Изначально Вы утверждали совершенно иное

-- 03.04.2018, 00:40 --

Someone в сообщении #1301318 писал(а):

обычно они называются классами

Но оратор ведь не об этом говорил, он говорил о канторовском понимании

[Someone]

(newtonisa)

newtonisa в сообщении #1301319 писал(а):

И позици Вавилова по вопросу Вы не раскрыли, просто перескачили в другую систему.

А с какой стати кто-то должен это для Вас это разжёвывать? Берите труды Вавилова и разбирайтесь.

-- Пн апр 02, 2018 23:44:00 --

newtonisa в сообщении #1301319 писал(а):

Но оратор ведь не об этом говорил, он говорил о канторовском понимании

А что Кантор? Он ведь не утверждал, что такие совокупности существуют.

[newtonisa]

Someone в сообщении #1301320 писал(а):

А что Кантор? Он ведь не утверждал, что такие совокупности существуют.

Да, в собственно канторовской системе никаких противоречий нет, они возникают из-за аксиомы Фреге, если она существует в природе. И введения классов там не требуется
Но для этого не нужно вавиловских поправок на то, что для любого объекта заранее известно, в какое множество он входит

[mihaild]

newtonisa в сообщении #1301322 писал(а):

Да, в собственно канторовской системе никаких противоречий нет, они возникают из-за аксиомы Фреге, если она существует в природе.

Непонятно, что вообще может означать "противоречие в собственно канторовской системе", т.к. она неформальна.

[Someone]

newtonisa в сообщении #1301322 писал(а):

Но для этого не нужно вавиловских поправок на то, что для любого объекта заранее известно, в какое множество он входит

А причём тут Вавилов? Это просто базовое положение классической логики: всякое высказывание либо истинно, либо ложно. В частности, для любого элемента $x$ и для любого множества $A$ высказывание $x\in F$ либо истинно, либо ложно. И считается, что мы всегда можем это выяснить.

А, например, в интуиционистской логике это не так.

[newtonisa]

mihaild в сообщении #1301323 писал(а):

т.к. она неформальна.

Но ведь, положа руку на сердце, "чистой" неформальной системы существовать не может. Если кантор строил множества, значит он руководствовался какими то правилами построения, не так ли? Значит неформально может означать лишь то, что она неявно формализована. Если он ее описал, это уже означает, что он ее формализовал, вопрос лишь в строгости такой формализации.

Да и вообще не известно, была ли она кантором формализована или нет.

-- 03.04.2018, 00:59 --

Someone в сообщении #1301326 писал(а):

А причём тут Вавилов? Это просто базовое положение классической логики: всякое высказывание либо истинно, либо ложно.

Но заранее это не известно, нужно вычислять. Да и вообще, не совсем понятно, причем тут это

[Someone]

newtonisa в сообщении #1301329 писал(а):

Да и вообще не известно, была ли она кантором формализована или нет.

Известно, что не была. Ни явно, ни неявно. Берите сборник трудов Кантора и читайте.

[newtonisa]

Someone в сообщении #1301330 писал(а):

Ни явно, ни неявно

А как Вы себе вообще представляете систему, которая не формализована?

-- 03.04.2018, 01:05 --

Someone
Вот, допустим, я объявляю в неформализованной системе множество положительных чисел. Могут ли в это множество входить отрицательные числа, если нет формализации, никто ведь формально не запрещает?

[warlock66613]

newtonisa в сообщении #1301319 писал(а):

В данный момент обсуждаем позицию Вавилова.

Если только вы сами с собой. Я "позицию Вавилова" не обсуждал, и обсуждать, в общем-то, не хочу (разве что с каким-нибудь историком, хорошо читающим по немецки).

mihaild в сообщении #1301323 писал(а):

Непонятно, что вообще может означать "противоречие в собственно канторовской системе", т.к. она неформальна.

Я думаю, это означает, что из неё можно/нельзя вывести противоречие с помощью обычных неформальных математических средств рассуждений, которые математики осваивают в процессе обучения и становления как математика и используют в дальнейшем в своей профессиональной деятельности.

[Someone]

newtonisa в сообщении #1301329 писал(а):

Но заранее это не известно

Я не понимаю, что значит "заранее". В математике времени нет.

newtonisa в сообщении #1301331 писал(а):

А как Вы себе вообще представляете систему, которая не формализована?

А так. Подавляющая часть математики не формализована и никто её формализовать не собирается, поскольку это никому не нужно. Формализуются теории, очень близкие к математической логике: различные области самой логики, различные варианты арифметики, теории множеств, различные алгебраические структуры и т.п. А формализовать всю математику принципиально невозможно.

-- Вт апр 03, 2018 00:10:06 --

newtonisa в сообщении #1301331 писал(а):

Вот, допустим, я объявляю в неформализованной системе множество положительных чисел. Могут ли в это множество входить отрицательные числа

Не могут. Не надо писать такие глупости.