Разбиение делителей на пары с простой суммой

[Ktina]

Все натуральные делители числа $n$ удалось разбить на пары так, что сумма делителей в каждой паре - простое число. Докажите, что все эти простые числа различны.

[mihaild]

$n$ свободно от квадратов (иначе хотя бы в одной паре оба числа будут делиться на $p$), и произведение чисел в каждой паре равно $n$ (числа из пары взаимно просты, и если они оба не делятся на $p | n$, то среди оставшихся больше половины делится на $p$). Т.е. пары имеют вид $(x, \frac{n}{x})$. Если суммы в двух парах равны, то $x + \frac{n}{x} = y + \frac{n}{y}$. Откуда $x = y$ или $x = \frac{n}{y}$, т.е. это одна пара.

[Ktina]

mihaild
Большое спасибо!