2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Разбиение делителей на пары с простой суммой
Сообщение02.04.2018, 00:22 
Аватара пользователя
Все натуральные делители числа $n$ удалось разбить на пары так, что сумма делителей в каждой паре - простое число. Докажите, что все эти простые числа различны.

 
 
 
 Re: Разбиение делителей на пары с простой суммой
Сообщение02.04.2018, 00:45 
Аватара пользователя
$n$ свободно от квадратов (иначе хотя бы в одной паре оба числа будут делиться на $p$), и произведение чисел в каждой паре равно $n$ (числа из пары взаимно просты, и если они оба не делятся на $p | n$, то среди оставшихся больше половины делится на $p$). Т.е. пары имеют вид $(x, \frac{n}{x})$. Если суммы в двух парах равны, то $x + \frac{n}{x} = y + \frac{n}{y}$. Откуда $x = y$ или $x = \frac{n}{y}$, т.е. это одна пара.

 
 
 
 Re: Разбиение делителей на пары с простой суммой
Сообщение02.04.2018, 00:49 
Аватара пользователя
mihaild
Большое спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group