Допускает ли язык логики противоречивые утверждения?

[Aritaborian]

newtonisa в сообщении #1300957 писал(а):

А это означает, что заданное множество существует?

Там чуть ниже:

Someone в сообщении #1300955 писал(а):

По аксиоме Фреге существует множество

[warlock66613]

newtonisa в сообщении #1300959 писал(а):

То есть, это был политический вопрос? Сознательная травля? Кто не устраивал, Кантор или его теория?

Какой вопрос, кого травили и кого не устраивал?

[newtonisa]

warlock66613 в сообщении #1300962 писал(а):

Какой вопрос, кого травили и кого не устраивал?

Просто я читал, что Кантора травили в академической среде, он пришелся не ко двору, и его теория очень не нравилась тогдашнему начальству.
Собственно, даже если допустить, что система Фреге противоречива, то к Канторовской теории это непосредственного отношения все равно не имеет, а "вне закона" была объявлена именно она.

[mihaild]

warlock66613 в сообщении #1300953 писал(а):

Это неправда. (Во всяком случае, так утверждает Н. Вавилов, подтверждая это историческими документами (письмами Кантора)).

Вполне готов поверить. Я под "наивной теорией множеств" понимал акиоматизацию Фреге. Готов согласиться, что так делать не надо.

Сам Кантор какую-то формализацию предлагал? Быстрый гуглинг показывает, что, видимо, нет; если действительно нет, то не очень понятно, как можно было бы рассуждать о ее противоречивости.

[newtonisa]

Aritaborian в сообщении #1300960 писал(а):

Там чуть ниже:

Все таки, желательно было бы найти точную формулировку. Я погулил, и что-то не с мог найти.

Насколько я понял, там "чуть ниже" уже вольная интерпретация, автор интерпретирует "задается" как "существует", не уверен, что это корректно

[Aritaborian]

newtonisa в сообщении #1300963 писал(а):

Собственно, даже если допустить, что система Фреге противоречива, то к Канторовской теории это непосредственного отношения все равно не имеет, а "вне закона" была объявлена именно она.

Собственно, даже если допустить, что трамваем номер семь управляет розовый единорог, к заявленному вами предмету обсуждения это вообще никакого отношения не имеет.

-- 02.04.2018, 00:06 --

newtonisa в сообщении #1300965 писал(а):

не уверен, что это корректно

Это аксиома. «Я художник, я так вижу».

[newtonisa]

Aritaborian в сообщении #1300966 писал(а):

отношения не имеет.

Ну, именно это имеет, ведь обсуждается не система Фреге, а именно канторовская. Если, допусить, что система Фреге противоречива, не следует, что наивная теория множеств противоречива, возможно она нуждается в другой формализации, более корректной.
Но даже противоречие системы Фреге пока что не очевидно из треда

-- 02.04.2018, 01:11 --

Aritaborian в сообщении #1300966 писал(а):

Это аксиома. «Я художник, я так вижу».

Не уверен, что аксиомы логики можно интерпретировать на художественный лад, там требуется строгость

[upgrade]

newtonisa в сообщении #1300932 писал(а):

ничего не может быть одновременно истинным и ложным

Так можно подбобрать утверждение, которое в одной системе отсчёта будет истинным, а в другой одновременно ложным, и обе системы отсчета будут задаваться одной логикой. По-моему теории относительности как раз такие логические системы.

[newtonisa]

upgrade в сообщении #1300968 писал(а):

Так можно подбобрать утверждение, которое в одной системе отсчёта будет истинным, а в другой одновременно ложным, и обе системы отсчета будут задаваться одной логикой.

Думаю, что в формальной логике такое невозможно

[arseniiv]

newtonisa в сообщении #1300967 писал(а):

Но даже противоречие системы Фреге пока что не очевидно из треда

Тут всё просто и удивительно, как вы не успели найти ничего по поводу того, как получается противоречие. Пусть [существует] $A = \{x : x\notin x\}$. Это значит, что для любого $x$, $x\in A\leftrightarrow x\notin x$. Подставим $A$ вместо $x$: $A\in A\leftrightarrow A\notin A$. Если это не считать явным противоречием, отсюда до него один шаг.

-- Пн апр 02, 2018 02:15:29 --

upgrade в сообщении #1300968 писал(а):

Так можно подбобрать утверждение, которое в одной системе отсчёта будет истинным, а в другой одновременно ложным, и обе системы отсчета будут задаваться одной логикой. По-моему теории относительности как раз такие логические системы.

В логике нет систем отсчёта. Давайте не будем осложнять тему с потенциальным троллингом ещё и безграмотными пояснениями.

[mihaild]

newtonisa в сообщении #1300967 писал(а):

возможно она нуждается в другой формализации, более корректной

ZF как такая формализация вас не устраивает?)

newtonisa в сообщении #1300967 писал(а):

Но даже противоречие системы Фреге пока что не очевидно из треда

Неограниченная схема выделения: для каждой формулы $P(x)$ с одной свободной переменной, $\exists X: \forall y: (y \in X \leftrightarrow P(y))$ - аксиома.
Берем в качестве $P(x)$ формулу $x \notin x$. Получаем $\exists X: \forall y: (y \in X \leftrightarrow y \notin X)$. Подставляем $X$ вместо $y$: $\exists X: (X \in X \leftrightarrow X \notin X)$. Вывод $\bot$ отсюда оставляю в качестве упражнения:)

[Aritaborian]

newtonisa в сообщении #1300967 писал(а):

Не уверен, что аксиомы логики можно интерпретировать на художественный лад, там требуется строгость

Это была ирония

newtonisa в сообщении #1300967 писал(а):

возможно она нуждается в другой формализации, более корректной

В какой? Чем вам претит эта? Ну или Цермело — Френкеля.

(upgrade)

ИМХО, слова «система отсчёта» какие-то мутные и в данном случае лишь сбивают с толку. Они сами по себе нуждаются в объяснении.

[warlock66613]

mihaild в сообщении #1300964 писал(а):

Быстрый гуглинг показывает, что, видимо, нет; если действительно нет, то не очень понятно, как можно было бы рассуждать о ее противоречивости.

По-моему вполне понятно как: с помощью адекватной аксиоматизации. Адекватность проверяется неформальным сопоставлением аксиоматизированной теории и неаксиоматизированной (неаксиоматизированность не обязательно означает неясность, даже для математика). Аксиоматизация Фреге в этом смысле адекватной не являлась: Кантором множество понималось именно как некоторая совокупность объектов, такая, что для каждого мыслимого объекта известно, входит он в эту совокупность или нет, что автоматически отметает все парадоксы.

Да, и я специально говорю об аксиоматизации — всё-таки формализация это нечто большее, правильно? Во всяком случае, я видел в учебниках доказательство непротиворечивости неформальной (содержательной) арифметики. UPD: Не совсем так. Цитата:

В. И. Нечаев. Числовые системы. писал(а):

Мы заметили, что непротиворечивость неформальной (содержательной) аксиоматической теории можно установить, только указав какую-нибудь модель из объектов теории, непротиворечивость которой уже доказана, но для аксиоматической теории натуральных чисел такой модели нет. В связи с этим рассматривают проблему непротиворечивости формальной аксиоматической теории натуральных чисел.

[newtonisa]

mihaild в сообщении #1300971 писал(а):

ZF как такая формализация вас не устраивает?)

Но это же уже не оригинальная система, там введены ограничения. Это нельзя назвать формализацией непосредственно канторовской системы

-- 02.04.2018, 01:35 --

mihaild в сообщении #1300971 писал(а):

Неограниченная схема выделения: для каждой формулы $P(x)$ с одной свободной переменной, $\exists X: \forall y: (y \in X \leftrightarrow P(y))$ - аксиома.

Все таки есть сомнения, что аксиома сформулированна именно так. Я почему-то не могу найти оригинал

-- 02.04.2018, 01:44 --

arseniiv в сообщении #1300970 писал(а):

Пусть [существует]

А из чего следует, что существует? Допустим, Вы доказали противоречивость такого существования, но никто ведь обратного не утверждал

[Someone]

newtonisa в сообщении #1300977 писал(а):

Но это же уже не оригинальная система, там введены ограничения. Это нельзя назвать формализацией непосредственно канторовской системы

Ну что Вы, это настоящая формализация. Если бы Вы были правы, то у нас вообще никаких формализаций не было бы. Нельзя требовать от формализации полной эквивалентности неформальной теории просто потому, что неформальная теория определена только частично.

newtonisa в сообщении #1300977 писал(а):

Все таки есть сомнения, что аксиома сформулированна именно так. Я почему-то не могу найти оригинал

Ну, "именно так" Вы у Фреге и не найдёте. Я как-то искал, нашёл перевод работы Фреге (Frege G., Grundgesetze der Arithmetik, begriffschriftlich abgeleitet, Bd 1—2, Jena, 1893—1903), в которой это положение сформулировано. Оно там сформулировано словами, столь архаичным языком, с таким количеством всяких философствований, что я читал и плевался. Тем более, что пришлось прочесть значительную часть статьи. Смысл состоит в том, что свойства отождествляются с множествами, и каждому свойству соответствует число (количество элементов с этим свойством), возможно, бесконечное. Возможно, тогдашним математикам такая формулировка казалась естественной и понятной. В современной теории множеств вместо аксиомы Фреге присутствует аксиома выделения.

Стало быть, берём свойство, которое в современном языке теории множеств записывается как $\neg(x\in x)$, ему соответствует множество $\{x:\neg(x\in x)\}$. Свойство, разумеется, существует (мы же его явно выписали и можем проверить для любого множества), а поскольку у нас свойства и множества — одно и то же, то множество, естественно, существует.