Допускает ли язык логики противоречивые утверждения?

[newtonisa]

Я так думаю, что допускает.
К примеру, мы можем сказать "это истина и ложь одновременно"
Это утверждение противоречиво, а значит ложно, потому что ничего не может быль одновременно истинным и ложным.
Тем не менее, любой логический язык допустит такое высказывание.
Другой пример: "этот предмет белый и черный"
Высказывание так же противоречиво, потому что содержит конъюнкцию взаимоисключающих свойств

Система Кантора, ныне известная как "наивная теория множеств" тоже допускала высказывания подобного рода, противоречивые высказывания. Высказывание "множество всех множеств, не содердащих себя в качестве элемента" является примером такого противоречивого высказывания, который, повторяю, допускат любой язык любой логической системы.

Тогда почему к системе Кантора применяется особое отношение в этом вопросе?

[Someone]

newtonisa в сообщении #1300932 писал(а):

Я так думаю, что допускает.

Безусловно, допускает. Дальше что?

newtonisa в сообщении #1300932 писал(а):

Система Кантора, ныне известная как "наивная теория множеств" тоже допускала высказывания подобного рода, противоречивые высказывания.

Естественно, потому что математическая теория всегда содержит в себе тот или иной вариант логики. Возможность сформулировать противоречивое высказывание ничего особенного собой не представляет.

newtonisa в сообщении #1300932 писал(а):

Тогда почему к системе Кантора применяется особое отношение в этом вопросе?

В каком вопросе и что за особое отношение?

Я вижу, что в физическом разделе вашу тему уже снесли в Пургаторий. Похоже, здесь будет то же самое.

[mihaild]

Я подозреваю, что тут достаточно часто встречающаяся путаница из-за странного понятия "допускать высказывание". В любой интересной системе можно сформулировать ложное (опровержимое) высказывание. Проблема с наивной теорией множеств в том, что она позволяет доказать опровержимое высказывание (и тем самым доказать вообще что угодно).

newtonisa в сообщении #1300932 писал(а):

Высказывание "множество всех множеств, не содердащих себя в качестве элемента"

... вообще не является высказыванием. Высказыванием является, например, $\exists X: \forall y: (y \notin y \leftrightarrow y \in X)$.
UPD: под наивной теорией множеств я тут подразумевал формализацию Фреге; см. ниже.

[newtonisa]

Someone в сообщении #1300938 писал(а):

В каком вопросе и что за особое отношение?

Цитата:

Парадокс Рассела (антиномия Рассела, также парадокс Рассела — Цермело) — открытый в 1901 году[1] Бертраном Расселом теоретико-множественный парадокс (антиномия), демонстрирующий противоречивость логической системы Фреге, являвшейся ранней попыткой формализации наивной теории множеств Георга Кантора. Был открыт ранее, но не опубликован Эрнстом Цермело.

То есть, сам факт того, что в системе можно сформулировать противоречивое высказывание послужил основанием для объявления ее противоречивой.

-- 01.04.2018, 23:41 --

mihaild в сообщении #1300940 писал(а):

В любой интересной системе можно сформулировать ложное (опровержимое) высказывание. Проблема с наивной теорией множеств в том, что она позволяет доказать опровержимое высказывание (и тем самым доказать вообще что угодно).

А разве такой факт обнаружен в системе кантора? Причем тут тогда парадокс Рассела?

[mihaild]

newtonisa в сообщении #1300941 писал(а):

То есть, сам факт того, что в системе можно сформулировать противоречивое высказывание послужил основанием для объявления ее противоречивой.

Нет, не факт формулируемости, а факт доказуемости.

newtonisa в сообщении #1300941 писал(а):

А разве такой факт обнаружен в системе кантора? Причем тут тогда парадокс Рассела?

Да, был.
Какой формальный объект называется "парадоксом Рассела" (и существует ли такой вообще) - не знаю, и это неважно. Неформально - рассуждения про брадобрея можно формализовать в наивной теории множеств и доказать, что такой брадобрей существует.
UPD: под наивной теорией множеств я тут подразумевал формализацию Фреге; см. ниже.

[newtonisa]

mihaild в сообщении #1300943 писал(а):

Да, был.
Какой формальный объект называется "парадоксом Рассела" (и существует ли такой вообще) - не знаю, и это неважно. Неформально - рассуждения про брадобрея можно формализовать в наивной теории множеств и доказать, что такой брадобрей существует.

Простите, но ваша поправка на то, что там опущено слово "существует" не имеет определяющего значения, это лишь формальность, оно там все равно подразумевается, ибо если расселовского парадоксального множества не существует, то и говорить не о чем. А Рассел своими рассуждениями как раз и доказывает, что этого объекта не существует в канторовской системе.
Ваша поправка подобна разнице между высказываниями "существует твердо-мягкий матрац" и
"твердо-мягкий матрац"
Любое из этих высказываний подразумевает существование, и оба они ложны

[Aritaborian]

newtonisa, вам уже сказали: есть разница между «сказать» и «доказать». Что непонятно?

[newtonisa]

Aritaborian в сообщении #1300945 писал(а):

Что непонятно?

Непонятно то, что именно доказано. Рассел доказал, что расселовского объекта не существует. Дальше что?

[mihaild]

Язык математики - формулы. Но т.к. если всё записывать полностью формально, получится что-то нечитаемое - то многое пишут текстом, но так, чтобы было понятно, как это расписать строго. Если вы сильно хотите, то можете попробовать договориться, что фраза "твердо-мягкий матрац" соответствует формуле $\exists X: \text{X - твердо-мягкий матрац}$, и что фраза "существует твердо-мягкий матрац" соответствует ей же, но это ИМХО крайне неудобно (и соответственно со мной о таком соглашении договориться не получится).

Стандартные рассуждения показывают, что расселовского множества не существует. Но в наивной теории множеств одновременно можно доказать, что оно существует! И проблема ровно в том, что можно доказать одновременно $A$ и $\neg A$.

В ZF, например, тоже можно сформулировать, например, утверждение "$X$ - расселовское множество" (со свободной переменной $X$). Но доказать утверждение "существует $X$ такое что $X$ - расселовское множество" - не получится (по крайней мере пока никто не смог).

newtonisa в сообщении #1300946 писал(а):

Непонятно то, что именно доказано.

В наивной теории множеств доказано, что существует расселовское множество; там же доказано, что оно не существует.
UPD: под наивной теорией множеств я тут подразумевал формализацию Фреге; см. ниже.

[newtonisa]

mihaild в сообщении #1300948 писал(а):

В наивной теории множеств доказано, что существует расселовское множество

Можно взглянуть на это доказательство?

[warlock66613]

mihaild в сообщении #1300940 писал(а):

Проблема с наивной теорией множеств в том, что она позволяет доказать опровержимое высказывание (и тем самым доказать вообще что угодно).

Это неправда. (Во всяком случае, так утверждает Н. Вавилов, подтверждая это историческими документами (письмами Кантора)).

[Someone]

mihaild в сообщении #1300948 писал(а):

В наивной теории множеств доказано, что существует расселовское множество; там же доказано, что оно не существует.

Собственно, в наивной теории множеств можно считать, что если предположение о существовании множества всех множеств (или какого-то другого объекта) приводит к противоречию, то его и не существует. Что касается Фреге, то он явным образом сформулировал положение (аксиому), что всякое свойство задаёт множество элементов, обладающих этим свойством, что и позволило доказать существование такого множества.
Вообще, о не формализованной теории трудно рассуждать. Поскольку список аксиом явно не сформулирован, то непонятно, что можно доказать, а что нельзя. Просто используются привычные методы доказательств.

newtonisa в сообщении #1300950 писал(а):

Можно взглянуть на это доказательство?

В системе Фреге очень просто. Рассмотрим свойство $P(x)=\neg(x\in x)$. По аксиоме Фреге существует множество $X=\{x:P(x)\}$. Вот и всё доказательство.
С другой стороны, существование такого множества приводит к противоречию.

[newtonisa]

Someone в сообщении #1300955 писал(а):

что всякое свойство задаёт множество элементов, обладающих этим свойством

А это означает, что заданное множество существует?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: дискуссионности не видно, так что (пока) сюда.

[newtonisa]

warlock66613 в сообщении #1300953 писал(а):

Это неправда. (Во всяком случае, так утверждает Н. Вавилов, подтверждая это историческими документами (письмами Кантора)).

То есть, это был политический вопрос? Сознательная травля? Кто не устраивал, Кантор или его теория?