Уравнение Дирака, операторы радиального импульса и скорости

[Ascold]

В "квантовой механике" Шиффа они даются формулами (44.9):

$$\mathbf{p}_r=r^{-1}(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p}-i\hbar), \quad \alpha_r=r^{-1}(\alpha\cdot\mathbf{r}),$$

где $\alpha_i$ - блочно-диагональные матрицы Дирака.
Про импульс я понимаю так - взяли $-i\hbar\nabla,$ подействовали по правилу скалярного произведения на $\mathbf{r}\psi,$ разделили на радиус, получили первую формулу(типа спроецировали оператор на радиальное направление). А почему вторая формула - оператор радиальной скорости?

[amon]

$v_r=\dot{r}=\frac{i}{\hbar}[H,r]$

[Ascold]

Благодарю. Правда возник ещё вопрос - Шифф переписывает гамильтониан(44.11) в терминах этих операторов $p_r,$ $\alpha_r,$ затем заявляя $\beta$ и $\alpha_r$ как матрицы второго порядка(44.13). Не до конца ясно, почему так можно, речь ведь идёт не о приближении медленных скоростей, а о точном(пока) решении, так что биспинор остаётся четырёхмерным, как тогда трактовать двухрядный гамильтониан?

[amon]

Ascold в сообщении #1300597 писал(а):

Шифф переписывает гамильтониан(44.11) в терминах этих операторов $p_r,$ $\alpha_r,$ затем заявляя $\beta$ и $\alpha_r$ как матрицы второго порядка(44.13). Не до конца ясно, почему так можно, речь ведь идёт не о приближении медленных скоростей, а о точном(пока) решении

Не делайте из релятивистской инвариантности культа. Уравнения Максвелла записываются вообще через трехмерные скаляры и векторы, и при этом правильны при любых скоростях частиц, входящих в токи и плотности зарояда. Если система осчета фиксирована, то в ней я могу писать все в неинвариантном виде. Если задачи прыгать козой из одной СО в другую не стоит, то внешне неинвариантный вид уравнений для вычислений часто удобнее.

[Ascold]

Всё равно странно - даже если не думать о рел. инвариантности. Вот есть у нас уравнение Дирака с гамильтонианом $\hat{H}=c\pmb{\alpha}\hat{\mathbf{p}}+mc^2\beta,$ хочу найти его собственные значения $\hat{H}\psi=E\psi.$
Как я могу быть уверен, что положив $\alpha_r=r^{-1}\pmb{\alpha}\mathbf{r}$ и $\beta$ матрицами 2 порядка, не получу чепуху вместо собственных значений, ведь линейно-независимых и антикоммутирующих двухрядных матриц 3, а не 4?