На максимум модуля

[MChagall]

Уточнил задание. Действительно, опечатка.
Наберу заново.
$G$ - ограниченная область на комплексной плоскости. $f_1,...,f_m$ - голоморфны в $G$.
$M:=\overline{\lim\limits_{z\to \partial G}^{}}(\left\lvert f_1(z)\right\rvert+...\left\lvert f_m(z)\right\rvert)$.
Доказать, что если хотя бы одна функция $f_k$ не константа, то $\forall z\in G$ выполняется $\left\lvert f_1(z)\right\rvert+...\left\lvert f_m(z)\right\rvert < M$. Мне верхний предел был известен в таком обозначении.
Вопросы по решению , тем не менее, остаются актуальными.

[g______d]

Ну если проблема только в непрерывности на границе, то сначала докажите для случая, когда все функции непрерывны вплоть до границы, а потом примените то, что получилось, к областям $G_{\varepsilon}=\{z\in G\colon \dist(z,\partial G)>\varepsilon\}$.

[MChagall]

g______d
Можете сказать, верное ли моё рассуждение в поставленной Вами выше более простой задаче?

g______d в сообщении #1299386 писал(а):

Ну если проблема только в непрерывности на границе

Ну проблема, к сожалению, не только в этом. Не могу понять как выстроить доказательство.
У меня есть функция $g(z)=\left\lvert f_1(z)\right\rvert+...\left\lvert f_m(z)\right\rvert$
M - это верхний предел $g(z)$ при стремлении $z$ к какой-либо точке $z_k$ на границе.
Нужно доказать, что внутри области значение $g(z)$ меньше этого предела. Это ведь какой-то расширенный принцип максимума модуля по сути? Не хватает какого-то толчка (или нескольких). Даже не знаю что конкретнее спросить.
Может надо доказать, что если M достигается внутри области, то функция постоянна?

[g______d]

MChagall в сообщении #1299946 писал(а):

Можете сказать, верное ли моё рассуждение в поставленной Вами выше более простой задаче?

Скажем так, его при желании можно интерпретировать как верное, но оно немного коряво написано. Думаю, что лучше всего, если Вы его ещё раз честно выпишете. На всякий случай, повторю задачу:

g______d в сообщении #1299172 писал(а):

если функции $f_1,\ldots f_m$ голоморфны в $G$ и непрерывны вплоть до границы, причём хотя бы одна из них не константа, то $M=\sup_{z\in G}|f_1(z)|+\ldots+|f_m(z)|=\max_{z\in \overline{G}}|f_1(z)|+\ldots+|f_m(z)|$ достигается только на границе $\partial G$.

(в частности, отсюда будет следовать, что $|f_1(z)|+\ldots+|f_m(z)|<M$ в любой внутренней точке области).

-- Пн, 26 мар 2018 15:35:14 --

MChagall в сообщении #1299946 писал(а):

M - это верхний предел $g(z)$ при стремлении $z$ к какой-либо точке $z_k$ на границе.

В такой формулировке это неправда. В качестве $M$ нужно брать наибольший возможный из верхних пределов последовательностей $|f(z_k)|$, по всем последовательностям $\{z_k\}$, пределы которых принадлежат $\partial G$.

Если брать какую-то одну точку границы, то может оказаться, что предел в ней сходится хоть даже к минимуму модуля, а не к максимуму.

[MChagall]

g______d в сообщении #1299949 писал(а):

вплоть до границы

То есть непрерывны в $\overline{G}$ ?

g______d в сообщении #1299949 писал(а):

Вы его ещё раз честно выпишете

То есть мне надо конкретно выписать линейную комбинацию, модуль которой равен сумме модулей.
Пусть $\alpha_k(z)=e^{-\arg(z)}$. Тогда возьмём $g(z)=\alpha_1\circ f_1(z)+...+\alpha_n\circ f_n(z)$.
Что-то мне это, конечно, не очень нравится. Не то?

[g______d]

MChagall в сообщении #1299985 писал(а):

То есть непрерывны в $\overline{G}$ ?

Да.

MChagall в сообщении #1299985 писал(а):

То есть мне надо конкретно выписать линейную комбинацию, модуль которой равен сумме модулей.

Напишите решение предложенной мной задачи полностью, можно кратко, но с указанием, какие теоремы применяем к каким функциям. Думаю, что тогда станет понятно.

[MChagall]

g______d в сообщении #1300072 писал(а):

Напишите решение предложенной мной задачи полностью

Нет, всё-таки я заблуждался, не получается довести до конца. Идея была такая.
Задать голоморфную на $G$ функцию $g(z)$ такую, что $\left\lvert g(z)\right\rvert=\left\lvert f_1(z)\right\rvert+...+\left\lvert f_n(z)\right\rvert$. Тогда бы для этой функции выполнялся принцип максимума модуля.
Предполагал так: $\forall z_0\in G \exists \alpha_1,...,\alpha_n \in\mathbb{C}$ такие, что $\left\lvert \alpha_1f_1(z_0)+...+\alpha_nf_n(z_0)\right\rvert=\left\lvert \alpha_1f_1(z_0)\right\rvert+...+\left\lvert \alpha_nf_n(z_0)\right\rvert$. Думал задать $\alpha_i$ как функции от $z$, но не получается у меня. Уже и не знаю, что делать.

[g______d]

MChagall в сообщении #1300113 писал(а):

Нет, всё-таки я заблуждался, не получается довести до конца. Идея была такая.

Ну тогда подсказка. Идея похожая. Для каждого набора констант $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$, $|\alpha_j|=1$, рассмотрите функцию

$$ g_{\alpha}(z)=\alpha_1 f_1(z)+\ldots+\alpha_n f_n(z). $$

При каждом $\alpha$ примените к функции $g_{\alpha}$ принцип максимума модуля и используйте тот факт, что при любом $\alpha$ будет $|g_{\alpha}(z)|\le |f_1(z)|+\ldots+|f_n(z)|$.

[MChagall]

Никак не покачусь. Вроде рядом, но...
Пусть $M_\alpha = \max\limits_{z\in \overline{G}}g_\alpha (z)$. Тогда по принципу максимума модуля $M_\alpha \in \partial G$. И $M_\alpha\leqslant \left\lvert f_1(z)\right\rvert+...+\left\lvert f_n(z)\right\rvert$.
Но как от этого перейти к тому что $\max\limits_{}(\left\lvert f_1(z)\right\rvert+...+\left\lvert f_n(z)\right\rvert)\in \partial G$ не пойму. Ведь не показано, что $\exists \alpha : \left\lvert g_\alpha (z)\right\rvert =\left\lvert f_1(z)\right\rvert+...+\left\lvert f_n(z)\right\rvert$. А значит $\max\limits_{}(\left\lvert f_1(z)\right\rvert+...+\left\lvert f_n(z)\right\rvert)$ может достигаться внутри области.

[MChagall]

g______d

Хотя,наверное, можно попробовать рассуждать следующим образом.
$\forall z_0 \exists \alpha$, такое, что $\left\lvert g_\alpha (z_0)\right\rvert=\left\lvert f_1(z_0)\right\rvert+...+\left\lvert f_n(z_0)\right\rvert \leqslant M_\alpha$. И так как все $M_\alpha \in \partial G$, то равенство возможно только для точек, принадлежащих границе. Тогда для каждого $\alpha$ $\max\limits_{}(\left\lvert f_1(z)\right\rvert+...+\left\lvert f_n(z)\right\rvert)$ достигается только на границе, и общий $\max\limits_{}(\left\lvert f_1(z)\right\rvert+...+\left\lvert f_n(z)\right\rvert)$ есть $\max\limits_{}M_\alpha$.
Верное рассуждение? Или у Вас как-то строже и понятнее?

[g______d]

MChagall в сообщении #1300193 писал(а):

Верное рассуждение?

Я бы потренировался в более аккуратном написании на Вашем месте.

Например: предположим, что $M$ в задаче достигается в какой-то внутренней точке $z_0$. Подберём для этой точки коэффициенты так, чтобы $g_\alpha(z_0)=M$. Если $g$ не константа, то $M$ не может быть её максимумом модуля. Тогда существует последовательность точек $z_k$, сходящаяся к точке границы, такая, что $|g(z_k)|\ge M+\varepsilon$ для некоторого фиксированного положительного $\varepsilon$. Но тогда $|f(z_1)|+\ldots+|f(z_n)|\ge M+\varepsilon$, и получаем противоречие с определением $M$.

Попробуйте сделать ещё проще.

Кроме того, остался ещё случай, когда $g$ константа.

[MChagall]

g______d в сообщении #1300242 писал(а):

$g$ константа

Что-то этот случай даже посложнее.
Сначала я подумал, что из $g(z)=\operatorname{const}\Rightarrow f_k(z)=\operatorname{const}$, но это не верно, так ведь?
Какие есть мысли.
1) Пусть $\alpha_1f_1(z)+...+\alpha_nf_n(z)=a$ и $\left\lvert a\right\rvert=M$.
Тогда $\forall z_1, z_2\in G: \alpha_1(f_1(z_2)-f_1(z_1))+...+\alpha_n(f_n(z_2)-f_n(z_1))=0$. И можно это выражение рассматривать как скалярное произведение двух векторов. Получается перпендикулярных. Вроде, бесполезное наблюдение.
То есть мне нужно доказать, что при $g_\alpha=a$ обязательно $\left\lvert a\right\rvert<M$. Как это можно сделать?

[MChagall]

MChagall в сообщении #1300359 писал(а):

То есть мне нужно доказать, что при $g_\alpha=a$ обязательно $\left\lvert a\right\rvert<M$. Как это можно сделать?

Либо $\left\lvert a\right\rvert<M$, либо все $f_k=\operatorname{const}$. Как это можно сделать?

[MChagall]

$M=\left\lvert g_\alpha (z)\right\rvert\leqslant \left\lvert f_1(z)\right\rvert+...+\left\lvert f_1(z)\right\rvert\leqslant M$. Следовательно, $\left\lvert \alpha_1f_1(z)+...+\alpha_nf_n(z)\right\rvert = \left\lvert f_1(z)\right\rvert+...+\left\lvert f_1(z)\right\rvert = M$. Как из этого можно (если можно) сделать вывод, что все $f_k=\operatorname{const}$?

[g______d]

Пусть, действительно,

$$ \alpha_1 f_1(z)+\ldots+\alpha_n f_n (z)=|\alpha_1 f_1(z_0)+\ldots+\alpha_nf_n (z_0)|=|\alpha_1 f_1(z_0)|+\ldots+|\alpha_nf_n (z_0)|=M, $$

где в левой части должен быть модуль, но его можно убрать, домножив все функции на фазовый множитель. Ещё $|\alpha_i|=1$. В левой части константа. Есть два варианта:

1) $M$ меньше глобального максимума суммы модулей (и тогда последний достигается только на границе, и всё хорошо).

2) Либо он ему равен. Но тогда посмотрим на вектор $(f_1(z),\ldots,f_n(z))$ и заметим, что он всё время параллелен вектору $(\overline{\alpha_1},\ldots,\overline{\alpha_n})$ (потому что на скалярном произведении с последним достигается максимально возможный максимум модуля среди всех возможных направлений; все вектора $(\overline{\alpha_1},\ldots,\overline{\alpha_n})$ имеют одинаковую длину, поэтому их можно считать векторами направлений). Это означает, что $f_i/\overline{\alpha_i}}=f_j/\overline{\alpha_j}$, все функции на самом деле пропорциональны одной функции, и модуль этой функции должен быть константой.

Если это правильное рассуждение, то аккуратно его записать -- придётся повозиться (Вам).