Почти соседние числа

[Ktina]

Назовём два различных натуральных числа почти соседними, если каждое из них даёт остаток 1 при делении на их разность. Например, числа 8 и 15 - почти соседние.

Помимо $5!=120=8\cdot 15$, существует ли ещё факториал, представимый в виде произведения двух почти соседних чисел?

[gris]

Соседство на самом деле присутствует. Вот оно: Рассмотрим различные арифметические прогрессии с натуральной разностью, большей единицы, и первым членом единичка. Вот примеры:
$1,3,5,7,9...$
$1,8,15,22...$
Любые "почти соседние числа" соседствуют без почти в одной из прогрессий.
То есть для любого факториала $n! =1\cdot n!$, где оба числа несомненно почти соседние.
Если Вы потребуете неединичности, или скажете, что $1$ нельзя делить на $5$, или ещё чего, то надо будет подумать немного дальше.

[Ktina]

gris
Разумеется, Вы правы, я подкорректирую условие задачи? Скажем, так:

... существует ли ещё факториал, представимый в виде произведения двух почти соседних чисел, больших 1?

[gris]

Тогда скажем так: каждая пара ПСЧ принадлежит ровно одной прогрессии из упомянутых. То есть произведение её составляющих можно представить как функцию двух натуральных переменных
$N=(1+kn)\cdot (1+n+kn)\big| k>0;n>1$.
Рассмотрим поближе значения этой функции, упорядоченные по возрастаю:
$15,28,35,45,70...$
Можно задать несколько вопросов: присутствуют ли в последовательности простые числа, степени, совершенные числа, факториалы, равные числа? Присутствует ли сия последовательность в OEIS?
Ответы: простых нет; степеней не видно; есть совершенное число $28=4\cdot 7$; есть факториал, указанный Вами; одинаковых чисел не видно; в Энциклопедии нет
Наверное, надо либо существенно расширить поиск, либо воспользоваться теорией.

[waxtep]

Можно еще так записать: ищем $p!=a(a+d),d|(a-1)$, т.е. разложение факториала на два взаимно простых множителя, каждый из которых близок к корню из него. При программном переборе это позволяет существенно ограничить поиск, а с небольшими факториалами расправиться на бумажке. Например, для $16!=2^{15}\cdot3^6\cdot5^3\cdot7^2\cdot11\cdot13$ достаточно проверить $a=2^{15}\cdot5^3$ и $a=3^6\cdot5^3\cdot7^2$ - оба не подходят, но проверить пришлось всего два случая, а не миллион с лишним $\approx\sqrt{p!}(1-\frac 1 {\sqrt 2})$