2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Почти соседние числа
Сообщение30.03.2018, 00:17 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Назовём два различных натуральных числа почти соседними, если каждое из них даёт остаток 1 при делении на их разность. Например, числа 8 и 15 - почти соседние.

Помимо $5!=120=8\cdot 15$, существует ли ещё факториал, представимый в виде произведения двух почти соседних чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почти соседние числа
Сообщение30.03.2018, 12:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Соседство на самом деле присутствует. Вот оно: Рассмотрим различные арифметические прогрессии с натуральной разностью, большей единицы, и первым членом единичка. Вот примеры:
$1,3,5,7,9...$
$1,8,15,22...$
Любые "почти соседние числа" соседствуют без почти в одной из прогрессий.
То есть для любого факториала $n! =1\cdot n!$, где оба числа несомненно почти соседние.
Если Вы потребуете неединичности, или скажете, что $1$ нельзя делить на $5$, или ещё чего, то надо будет подумать немного дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почти соседние числа
Сообщение30.03.2018, 14:33 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
gris
Разумеется, Вы правы, я подкорректирую условие задачи? Скажем, так:

... существует ли ещё факториал, представимый в виде произведения двух почти соседних чисел, больших 1?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почти соседние числа
Сообщение30.03.2018, 14:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Тогда скажем так: каждая пара ПСЧ принадлежит ровно одной прогрессии из упомянутых. То есть произведение её составляющих можно представить как функцию двух натуральных переменных
$N=(1+kn)\cdot (1+n+kn)\big| k>0;n>1$.
Рассмотрим поближе значения этой функции, упорядоченные по возрастаю:
$15,28,35,45,70...$
Можно задать несколько вопросов: присутствуют ли в последовательности простые числа, степени, совершенные числа, факториалы, равные числа? Присутствует ли сия последовательность в OEIS?
Ответы: простых нет; степеней не видно; есть совершенное число $28=4\cdot 7$; есть факториал, указанный Вами; одинаковых чисел не видно; в Энциклопедии нет :-(
Наверное, надо либо существенно расширить поиск, либо воспользоваться теорией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почти соседние числа
Сообщение01.04.2018, 03:49 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
Можно еще так записать: ищем $p!=a(a+d),d|(a-1)$, т.е. разложение факториала на два взаимно простых множителя, каждый из которых близок к корню из него. При программном переборе это позволяет существенно ограничить поиск, а с небольшими факториалами расправиться на бумажке. Например, для $16!=2^{15}\cdot3^6\cdot5^3\cdot7^2\cdot11\cdot13$ достаточно проверить $a=2^{15}\cdot5^3$ и $a=3^6\cdot5^3\cdot7^2$ - оба не подходят, но проверить пришлось всего два случая, а не миллион с лишним $\approx\sqrt{p!}(1-\frac 1 {\sqrt 2})$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group