Чьи это теоремы о матрицах обменных курсов?

[Кролик]

Как же поступает на практике хозяйственник, у которого на складе появился избыток стали, но не хватает угля и денежных средств? Причём уголь нужен срочно... Разве нельзя продать на бирже избыток стали и купить недостающий уголь? Причём сделать это достаточно быстро, в течение суток, например? Разве в распоряжении биржевого брокера не имеются специальные парные операции, позволяющие в один момент продать сталь и купить уголь? (Именно в процессе таких мгновенных парных операций и пришлось бы ориентироваться по верхней границе одного стакана заявок и по нижней границе с другого.) Хозяйственника, попавшего в просак, не интересует долларовая (или рублевая) цена обоих ресурсов. В критический момент, его интересует именно некий относительный показатель $\varkappa(\text{уголь}|\text{сталь})$. Он хочет чтобы именно этот относительный показатель стал для него наиболее выгодным. Для этого он готов подождать своего брокера целые сутки.

[upgrade]

Это смотря где.
В России - пялится на избыток стали.
На западе настраивает систему так (канбан), чтобы избытков не появлялось.

[Кролик]

upgrade в сообщении #1300229 писал(а):

На западе настраивает систему так (канбан), чтобы избытков не появлялось.

"Время — деньги." Но, как описать этот закон количественно?

Wikipedia писал(а):

Канбан — метод управления разработкой, реализующий принцип «точно в срок» и способствующий равномерному распределению нагрузки между работниками. При данном подходе весь процесс разработки прозрачен для всех членов команды. Задачи по мере поступления заносятся в отдельный список, откуда каждый разработчик может извлечь требуемую задачу.

И так, как мы видим, речь идёт о хорошо решенной задаче из теории массового обслуживания. Входной поток заданий недетерминированный, а, следовательно, даже самый правильно настроенный обрабатывающий автомат может (хотя и с крайне малой вероятностью!) попадать в нежелательные состояния. Предположим, мы в Америке 50-ых годов, то есть до изобретения канбан, или даже в Америке сегодняшний, но произошла нештатная ситуация. Как всё-таки напрямую продать сталь и приобрести уголь? Как будет функционировать сырьевая биржа?

[fxseminar]

Возвращаяссь к началу темы,

Кролик в сообщении #1298455 писал(а):

Условие мгновенной сбалансированности на элементы матрицы обменных курсов ${\rm K}(t)$:

$$ \varkappa(i|j,t) \le \varkappa(i|k,t)\,\varkappa(k|j,t)\, ,\qquad\forall t\ge t_0\, , \quad k=1,...,n $$

-- это утверждение неверно в том смысле, что неправильно описывает реальность рынка.

А именно, если бы это утверждение было существенно -- в том смысле что "меньше" в нём было бы (часто бывало бы на реальном рынке) значительно, то рыночным агентам, обменивающим i-й товар на j-й товар, было бы просто выгодно (столь же часто и значительно) делать это не напрямую, а в режиме кросс-сделок через товар k.

[Кролик]

fxseminar в сообщении #1300289 писал(а):

<...> рыночным агентам, обменивающим i-й товар на j-й товар, было бы просто выгодно (столь же часто и значительно) делать это не напрямую, а в режиме кросс-сделок через товар k.

Уважаемый fxseminar. Скажите, Вы написали всё это про матрицу (a) или про матрицу (b) из Задачи 1 (см. выше)? Вы можете указать там конкретные индексы $i$, $j$ и $k$, при которых опосредованный обмен в режиме кросс-сделок выгоднее прямого? (Необходимо обратить внимание на то, что матрица ${\rm K}$ содержит относительные закупочные цены; дуальная ей матрица относительных цен сбыта нами пока не рассматривалась...)
Если Вы знаете классическую литературу, в которой описаны модели натурального рынка и подобные матрицы, cообщите пожалуйста как можно быстрей!

[fxseminar]

Уважаемый Кролик, прежде всего, возможно, я неправильно понял вашу задачу.

А понял я так, что K(i|j) ... (эта употреблённая вами буква -- она, кажется, читается "каппа", так что можно я заменю её на "К"?) ... так вот, K(i|j) - это обменный курс i-того актива на j-й актив.

То есть, например, K(EUR|USD), которое на валютном рынке обозначают просто EURUSD -- это сколько долларов дают за один Евро. А GBPUSD -- это сколько долларов дают за один фунт. А GBPEUR -- это сколько Евро дают за один фунт.

Так вот, если будет GBPUSD < GBPEUR*EURUSD , то цикл:
1) покупка GBP за USD (они ведь дёшевы!)
2) после этого продажа этих GBP за EUR
2) после этого продажа этих EUR за USD

-- представляет собой "машинку для печатания денег".

PS. последовательность букв "закупочн" в корневом посте отсутствует.

[fxseminar]

Уважаемый Кролик, в самом деле, если мы обсуждаем "закупочные цены" ДЛЯ РОЗНИЧНОГО покупателя (то есть той стороны торговли, которую "обдирают" на каждой сделке),

-- то сначала закупив Евро за доллары (по курсу EURUSD), а потом закупив фунты за эти Евро (по курсу GBPEUR), он потратит EURUSD*GBPEUR долларов на каждый приобретённый фунт, и эти расходы окажутся больше, чем если бы он сразу покупал фунты за доллары (по курсу GBPUSD).

Но если мы обсуждаем "закупочные цены" (их можно ещё назвать "скупочными") ДЛЯ МАРКЕТ МЕЙКЕРА (или, скажем, для "торговца"), который наживается на каждой сделке, обдирая очередного розничного клиента, то для него знак неравенства будет противоположный:
GBPUSD' > EURUSD' * GBPEUR' .

Примечание: я переставил местами сомножители, чтобы последовательность бизнес-операций, ими обозначаемых, соответствовала принятой в математике последовательности операций "слева направо".

[Кролик]

fxseminar в сообщении #1300834 писал(а):

<...> последовательность букв "закупочн" в корневом посте отсутствует.

-- Это лишний раз показывает, что поговорка "Краткость − сестра таланта" не всегда соответствует действительности. В начале я был абсолютно уверен, что все эти матрицы и их интерпретации большинству участников этого форума хорошо известны. Преследовалась скромная цель получить литературную ссылку, не более... Попробую теперь увеличить объем изложения.

Введём два взаимнообратных нелинейных оператора ${\cal L} :{\rm I \! R}_{+}^{n\times n}\!\to{\rm I \! R}^{n\times n}$ и ${\cal P} :{\rm I \! R}^{n\times n}\!\to{\rm I \! R}_{+}^{n\times n}$, соответствующие логарифмированию и потенцированию, определив их действие на матрицу поэлементно:

$$ {\cal L} \{A\}_{ij} = \ln\left( a_{ij}\right)\, ,\qquad {\cal P} \{B\}_{ij} = \exp\left( b_{ij}\right)\, , \qquad i,j=1,...,n\, . \eqno (O) $$

Пусть введённая в корневом посте матрица ${\bm\Lambda}$ содержит натуральные логарифмы элементов матрицы ${\rm K}$, тогда этот факт можно записать через оператор: ${\bm\Lambda} = {\cal L}\{{\rm K}\}$. На множестве квадратных матриц рассмотрим теперь такие соотношения дуальности:

$$ {\bm\Lambda} + {\rm M}^{\sf T} = O\,\quad\text{и}\quad {\cal L}\{{\rm K}\} + {\cal L}\{{\bm\Upsilon}\}^{\sf T} = O\, , \eqno (D) $$

последнее из них определенно только на матрицах с положительными элементами. Если матрица ${\rm K}$ содержит относительные закупочные цены то матрица ${\bm\Upsilon}$ будет содержать относительные цены сбыта. Условия мгновенной сбалансированности на элементы матрицы-функции ${\bm\Upsilon}(t)$:

$$ \upsilon(i|j,t) \ge \upsilon(i|k,t)\,\upsilon(k|j,t)\, ,\qquad\forall t\ge t_0\, , \quad k=1,...,n\, , $$

вытекают из аналогичных условий на исходную матрицу и свойства монотонности отображений (O). Одна матрица не несет в себе новой информации относительно другой. Однако как ${\rm K}$, так и ${\bm\Upsilon}$ содержит в себе полную информацию о рынке. На главной диагонали у ${\bm\Lambda}$ и $\rm M$ стоят нули, кроме того в каждый момент времени выполняются следующие линейные неравенства:

$$ \lambda(i|j,t) \le \lambda(i|k,t) + \lambda(k|j,t)\, ,\qquad\forall t\ge t_0\, , \quad k=1,...,n\; ,\;\; k\ne i\, ,\;\; k\ne j\, . \eqno (L) $$

(Для элементов $\rm M$ аналогичные, но с противоположным знаком неравенства.)

[fxseminar]

Кролик в сообщении #1300974 писал(а):

Условия мгновенной сбалансированности на элементы матрицы-функции

-- можно по-простому, по-крестьянски спросить: откуда вообще возникает необходимость наложить эти "условия мгновенной сбалансированности"? И на основании каких соображений вообще возникает представление о (необходимости) этой "сбалансированности"?

Иными словами: а если "условия мгновенной сбалансированности на элементы матрицы-функции" (где-то как-то кем-то/чем-то) не выполняются, тогда что (происходит)?

[upgrade]

Кролик в сообщении #1300974 писал(а):

Однако как ${\rm K}$, так и ${\bm\Upsilon}$ содержит в себе полную информацию о рынке.

Обменные курсы (даже если мы их сумеем получить) не означают, что сделки могут быть проведены "цепочками" по этим обменным курсам - первая же сделка в "цепочке" может изменить все обменные курсы. Полная информация всегда о вчерашнем рынке, а информация о сегодняшнем рынке будет завтра. К примеру информация о сделках попадает в базы по схеме $T+3$ (торговый день+3 рабочих дня).
Но даже если мы сумеем получить полную информацию о рынке мгновенно, при первой же сделке в цепочке соотношения поменяются, да к тому же нельзя пробежать по цепочке мгновенно по всем шагам - первый шаг делается вчера, второй сегодня третий завтра, вчера-сегодня-завтра обменные курсы разные.
Это очень похоже на состояния при взаимодействии частиц (конечно с моей т.з.) - невозможно по текущему взаимодействию двух частиц определить какое состояние будет у третьей частицы если она провзаимодействует после с одной из них.
Поэтому ожидаемые цены (обменные курсы) всегда имеют распределение и по времени и по пространству (место торгов) и по продавцам и по объемам и ...
Вот простой пример:
у одного человека вода, у другого пистолет, у третьего золото все три находятся в пустыне, все три человека разные, ни один из трех не обладает полной информацией о других.
Попробуйте составить мгновенные соотношения таким образом, чтобы они сохранились после первого шага в цепочке.

[fxseminar]

dsge в сообщении #1298752 писал(а):

Зная только курсы валют по отношению к одной из них, скажем к доллару, при отсутствии арбитража можно вывести курсы между любой валютной парой.

-- можно вывести, только это будут совершенно умозрительные курсы никого ни к чему не обязывающие. Потому что в реальном финансовом мире нет никакой инстанции, строго следящей за тем, чтобы никогда не было никакого арбитража.

Если, например, ЦБ РФ нужно (быстро) уменьшить свои запасы долларов и увеличить запасы Евро, то он установит такие курсы EURRUB и USDRUB, чтобы свободным рыночным агентам было выгодно переходить из Евро в доллар (расставаться с первым и загружаться вторым) именно через посредничество ЦБ РФ, то есть через USDRUB*RUBEUR.

[Кролик]

fxseminar в сообщении #1301047 писал(а):

Кролик в сообщении #1300974 писал(а):

Условия мгновенной сбалансированности на элементы матрицы-функции $\Upsilon(t)$

-- можно по-простому, по-крестьянски спросить: откуда вообще возникает необходимость наложить эти "условия мгновенной сбалансированности"? И на основании каких соображений вообще возникает представление о (необходимости) этой "сбалансированности"?
Иными словами: а если "условия мгновенной сбалансированности на элементы матрицы-функции" (где-то как-то кем-то/чем-то) не выполняются, тогда что (происходит)?

Но Вы же сами так хорошо ответили на свой собственный вопрос... (Теперь я чуть подправляю Ваши обозначения для однородности.)

fxseminar в сообщении #1300834 писал(а):

Так вот, если будет $\upsilon(\text{GBP}|\text{USD}) < \upsilon(\text{GBP}|\text{EUR})\,\upsilon(\text{EUR}|\text{USD})$ , то цикл:
1) покупка GBP за USD (они ведь дёшевы!)
2) после этого продажа этих GBP за EUR
2) после этого продажа этих EUR за USD
-- представляет собой "машинку для печатания денег".

Вот был ещё один вариант ответа (авторитетный):

dsge в сообщении #1298825 писал(а):

<...> и заработав ничем не рискуя 33.33 долларов. На фьючерсном рынке это произойдет за доли секунды.

Предполагается, что современные системы коммуникации способны отследить нарушения условий баланса в течение долей секунд и вовремя "включить печатный станок" в пользу прочих агентов, что выравняет состояние в стаканах заявок и неравенства необходимого баланса (почти мгновенно) снова поимеют силу. Ведь все агенты рынка одновременно увидят возможность безрискового деньгопечатания!

-- Пн апр 02, 2018 21:38:38 --

upgrade в сообщении #1301060 писал(а):

<...> Полная информация всегда о вчерашнем рынке, а информация о сегодняшнем рынке будет завтра. К примеру информация о сделках попадает в базы по схеме $T+3$ (торговый день+3 рабочих дня). Но даже если мы сумеем получить полную информацию о рынке мгновенно, при первой же сделке в цепочке соотношения поменяются, да к тому же нельзя пробежать по цепочке мгновенно по всем шагам - первый шаг делается вчера, второй сегодня третий завтра, вчера-сегодня-завтра обменные курсы разные.<...>
Поэтому ожидаемые цены (обменные курсы) всегда имеют распределение и по времени и по пространству (место торгов) и по продавцам и по объемам и ...

-- Опытный инженер-математик почти всегда опирается в своей работе на завоевавший доверие методический прием: он никогда не вводит в первую свою модель все мыслимые и немыслимые факторы (вероятностные неопределённости, запаздывание по времени, конечную инертность больших систем и т.п.). Очень важно в самом начале выписать простую детерминированную модель и разобраться с ней и ее свойствами, отделить самое главное от всё-таки второстепенного... Представьте, что вот и мы находимся только в начале пути. Примите некоторые допущения, которые не противоречат явно теории финансов.
Давайте всё-таки начнём с малого, вернемся к вопросам задачи 1, и к вопросам, заданным чуть позже. Неужели на товарно-сырьевой бирже невозможно обменять сталь на уголь одним махом, в один день, может быть даже в одну секунду? Что этому конкретно препятствует на практике?

[dsge]

fxseminar в сообщении #1301067 писал(а):

Потому что в реальном финансовом мире нет никакой инстанции, строго следящей за тем, чтобы никогда не было никакого арбитража.

Инстанции нет, но есть люди, сидящие в банках, называемые арбитражеры и зарабатывающие на хлеб с маслом именно тем, чтобы "не было никакого арбитража". Некоторое время тому назад благодаря этим людям среднее время арбитража на рынке было 10 с, соответственно все остальное время арбитраж отсутствовал. Сейчас это время намного меньше, т.к. представителей этой достойной профессии вытесняют роботы, у которых и реакция и быстродействие лучше.

fxseminar в сообщении #1301067 писал(а):

Если, например, ЦБ РФ нужно (быстро) уменьшить свои запасы долларов и увеличить запасы Евро, то он установит такие курсы EURRUB и USDRUB

Очень неудачный пример с ЦБ РФ. Если ему "нужно (быстро) уменьшить свои запасы долларов и увеличить запасы Евро", то он точно не будет делать это через рублевый рынок. Они же декларировали, что рубль в свободном плавании, а потому избегают интервенций на рублевом рынке без крайней необходимости.

[fxseminar]

dsge вы согласны, что "арбитража нет" и "арбитраж есть, и на нём зарабатывают: раньше зарабатывали сами трейдеры, а теперь -- их торговые роботы" -- это принципиально разные утверждения?

Либо же нужно начинать рассуждение со слов "давайте пренебрежём арбитражём".