Комплексные многочлены

[MChagall]

Две задачи с полиномами.
1) Полином $P(z)=a_nz^n+...+a_2z^2+z$ однолистен в круге D (единичном). Необходимо доказать, что $n\left\lvert a_n\right\rvert\leqslant1$
2) $P(z)=a_nz^n+...+a_1z+a_0$ может быть однолистен в $\mathbb{C}_+$ (верхняя полуплоскость) только когда $n\leqslant2$

1) Из однолистности полинома следует, что в D находится не более одного корня уравнения $P(z)=0$. Один корень - нулевой, и он как раз в D. Следовательно все $n-1$ корней полинома $a_nz^{n-1}+...+a_2z+1$ лежат за пределами единичного круга, то есть их модули больше 1. А по теореме Виета их произведение равно $\frac{1}{a_n}$. Получается, что произведение модулей $\prod\limits_{1}^{n-1}\left\lvert x_i\right\rvert=\frac{1}{\left\lvert a_n\right\rvert}\geqslant1$. Но этого мало, а дальше не знаю как.
Возможно, верно одно из двух утверждений:
а) среди корней есть хотя бы один с модулем больше $n$
б) модули всех корней больше корня $(n-1)$-й степени из $n$ (не нашёл значок корня $n$-й степени). Это кажется, что вряд ли.
Может кто-нибудь помочь закончить если на верном пути?

2) Похоже на 1, только получается что $\forall\alpha\in\mathbb{C}_+$ среди корней уравнения $P(z)=\alpha$ не более одного лежит в верхней полуплоскости, то есть аргумент только одного корня лежит в $(0, \pi)$. То есть нужно показать, что при $n>2$ всегда есть точка в верхней полуплоскости, для которой как минимум два корня лежат в верхней полуплоскости. Но как это сделать не знаю.

[StaticZero]

MChagall в сообщении #1299566 писал(а):

значок корня $n$-й степени

\sqrt[n]{x} $\sqrt[n]{x}$

[vpb]

Указания. 1) А не взять ли нам производную от $P$, и не показать ли, что если $n|a_n|>1$, то у нее непременно есть нуль внутри круга?
2) Рассмотрим такой путь: отрезок от $-R$ до $R$, и полуокружность на нем, как на диаметре, от $R$ до $-R$. Т.е. граница полукруга. Каков примерно будет образ этого пути (относительно $P$), когда $R$ велико?

[MChagall]

vpb в сообщении #1299576 писал(а):

нуль внутри круга?

Ну тем же способом: произведение модулей корней производной получится равно $\frac{1}{n\left\lvert a_n\right\rvert}$ и меньше 1. Значит, один из корней по модулю меньше 1. Но как это помогает? Разве в нулях производной нарушается однолистность?

vpb в сообщении #1299576 писал(а):

Каков примерно будет образ

Примерно это будет образ этой полуокружности при $Q(z)=a_nz^n$. То есть окружность радиусом $\left\lvert a_n\right\rvert R^n$. И "накрученная" n раз. И повёрнутая на $\arg(a_n)$. Но это ведь не даёт гарантии, что в верхней полуплоскости будут точки, которые образы двух. Например, $-z^3$. При $z^3$ верхняя полудуга будет иметь по два прообраза, а нижняя по одному. И $-z^3$ наоборот. Что-то где-то путаю?

[thething]

MChagall
По первой задаче: смотрите критерий однолистности в точке или необходимое условие однолистности в области
По второй задаче: я бы попробовал через лемму об открытости доказать (подглядывая в ее доказательство), учитывая, что у многочлена второй степени корень может быть максимум кратности 2. Но тут не совсем уверен.

[vpb]

MChagall
Действительно, по первой задаче поинтересуйтесь тем, что thething посоветовал.

MChagall в сообщении #1299604 писал(а):

Примерно это будет образ этой полуокружности при $Q(z)=a_nz^n$. То есть окружность радиусом $\left\lvert a_n\right\rvert R^n$. И "накрученная" n раз. И повёрнутая на $\arg(a_n)$

Ну, не совсем так оно будет выглядеть, но похоже.

Знаете ли Вы, что такое принцип аргумента?

-- 25.03.2018, 13:13 --

thething в сообщении #1299617 писал(а):

По второй задаче: я бы попробовал через лемму об открытости доказать (подглядывая в ее доказательство), учитывая, что у многочлена второй степени корень может быть максимум кратности 2. Но тут не совсем уверен.

Нет, по-моему, тут это ни при чем...

[MChagall]

thething в сообщении #1299617 писал(а):

смотрите критерий однолистности

Ну да, тогда, вроде, решение есть. Как это могло мимо меня пройти?!!
Но возник вопрос не по задаче. Для определения области конформности меня учили проверять $f'(z)\ne 0$ + однолистность. Зачем первое, ведь если это не так, то нет и однолистности. Разве одной однолистности недостаточно?

vpb в сообщении #1299624 писал(а):

Знаете ли Вы, что такое принцип аргумента?

Не знаю. Посмотрел в википедии, это связано с полюсами, вычетами. Эти вещи только начались у нас, в ближайшие дни буду разбираться (наверняка ждите новых тем с вопросами). Данная задача была выдана до темы интегралов.

[thething]

MChagall в сообщении #1299664 писал(а):

Для определения области конформности меня учили проверять $f'(z)\ne 0$ однолистность. Зачем первое, ведь если это не так, то нет и однолистности.

Зато если это так, то однолистности в области может не быть. Ну и не знаю, как в Вашем курсе, но у меня, например, условие $f'(z)\ne 0$ называлось критерием конформности.

Кстати, может приведете список фактов из лекции, к которой эта задача?

[vpb]

MChagall в сообщении #1299664 писал(а):

Как это могло мимо меня пройти?!!

MChagall в сообщении #1299664 писал(а):

Не знаю. Посмотрел в википедии, это связано с полюсами, вычетами. Эти вещи только начались у нас, в ближайшие дни буду разбираться (наверняка ждите новых тем с вопросами). Данная задача была выдана до темы интегралов.

Видать, так уж вас там учат! По какой книжке, кстати?

[MChagall]

vpb в сообщении #1299676 писал(а):

По какой книжке, кстати

Рекомендованы Домрин, Сергеев "Лекции по комплексному анализу", ну и Шабат. Нормальные или Вы бы что-нибудь добавили (заменили)?

thething в сообщении #1299666 писал(а):

список фактов из лекции

Ну на одной лекции были рассказаны основные понятия ($\mathbb{C}$-дифференцируемость, голоморфность, конформность, элементарные функции). На другой - т. Римана и Обратный принцип соответствия границ (без доказательств, видимо для решения практических задач на конформные отображения). Дальше началось интегрирование, но задачи на интегралы были предложены уже на другой лекции.

Кстати, я нашёл в Шабате необходимое и достаточное условие локальной однолистности, и там это довольно далёкая теорема.

[vpb]

MChagall в сообщении #1299696 писал(а):

Рекомендованы Домрин, Сергеев "Лекции по комплексному анализу", ну и Шабат. Нормальные или Вы бы что-нибудь добавили (заменили)?

Более чем нормальные. То, что надо, имхо. Насчет добавить. Я в юном возрасте читал еще две популярные книжки: В.Б.Алексеев, Теорема Абеля в задачах и решениях, и А.И.Маркушевич, Целые функции (популярный очерк). Есть еще основательная и несколько старомодная книга А. И. Маркушевич, Теория аналитических функций. Может и Вам они будут полезны. Возможно, есть более современные книжки по комплексному анализу, столь же годные как Шабат и Маркушевич, но я, честно говоря, не в курсе.

Я не знаю, где Вы учитесь, но то, что книжки вам рекомендовали нормальные, навело меня на мысль, что учат вас нормально, без всяких педагогических "инноваций". А вот я несколько оплошал. Для решения обоих задач не нужен ни принцип аргумента, ни критерий локальной однолистности. Там есть элементарное решение.

Для пункта 1). По cуществу, надо показать, что если какой-то многочлен в какой-то точке имеет нулевую производную, то он не однолистен в любой окрестности этой точки.
(а) Сначала, выполняя линейные замены над многочленом и переменной, можно свести (сделайте это сами) задачу к случаю, когда рассматриваемая точка $z=0$, а многочлен $f(z)=z^n+g(z)$, притом $n\geq2$, а $g(z)$ содержит лишь слагаемые степеней $>n$.
(б) Потом надо явно придумать кривую $\gamma$, не проходящую через ноль и не самопересекающуюся, которую отображение $z\mapsto z^n$ переводит в самопересекающуюся, причем самопересекающуюся трансверсально, т.е. в точке самопересечения не касающуюся сама себя, а под углом.
(в) Наконец, берем маленькое $t>0$ и рассматриваем кривую $t\gamma$. Можно показать, что если $t$ достаточно мало, то образ этой кривой под действием $f$ оказывается самопересекающейся кривой. Значит, неоднолистность!

Для второго пункта аналогично, только там надо кривую не стягивать к нулю, а раздувать в бесконечность. Подумайте, как.

[MChagall]

vpb в сообщении #1299724 писал(а):

Для пункта 1)

а) Пусть $P'(z_0)=0$. Сделаем замену $y=z-z_0$. Тогда $P'(0)=0$ и $P(y)=a_ny^n+b_{n-1}y^{n-1}+...+b_ky^k+b_0$, где $k\geqslant 2$. Далее $f(y)=\frac{P(y)-b_0}{b_k}=y^k+...+c_ny^n$.
Так верно?
б) Возьмём точки $y_1=e^{i\varphi}$, где $\varphi\in (0, \frac{\pi}{2})$ и $y_2=e^{i(\varphi+\frac{2\pi }{k})}$. В качестве $\gamma$ можно взять отрезок $[y_1,y_2]$, если $k>2$ (ну или кусок прямой, содержащий этот отрезок) и кривую (не дугу окружности), соединяющую $y_1$ и $y_2$, если $k=2$.
Похоже на правду?

[vpb]

MChagall в сообщении #1299868 писал(а):

Похоже на правду?

Да, правильно. Сейчас надо сделать небольшое уточнение. Кривую $\gamma$ надо выбирать так, чтобы точки на $\gamma$, отвечающие точкам самопересечения на образе, были внутренними, а не конечными. Это нужно будет, чтоб шаг (в) проходил. Этого несложно добиться, хотя тут нужны разные технические детали. Будем предполагать, что Вы это уже сделали. Можете переходить к шагу (в).

[MChagall]

vpb в сообщении #1299925 писал(а):

были внутренними, а не конечными.

MChagall в сообщении #1299868 писал(а):

ну или кусок прямой, содержащий этот отрезок)

Не подойдёт?

[vpb]

MChagall в сообщении #1299927 писал(а):

Не подойдёт?

Подойдет.